概率论第四章1(2)

例题 例4.1.5 设风速 X 是一个随机变量，在 [0,a] 上服从均匀分布， 而飞机机翼上受到的压力 Y 与风速的平方成正比。即 Y kX 2 k 0 ,求 E (Y ) 。 解 X 的概率密度为 1 , f x a 0 ,

0 x a 其它a

E Y kx f x dx 2

0

1 1 2 kx dx ka a 3217

例 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处，且 X在[0,60]上均匀分 布，求该游客等侯时间的数学期望。 1 x [ 0 ,60 ] f ( x ) 60 解:由题意得:X~ 0 其它

60

0

1 g( x )dx 60

设Y表示旅客候车时间, 则 5-X 0<X≤5, Y=g(X)= 25-X55-X 65-X

25 1 5 [ (5 x)dx (25 x)dx 5 60 0

5<X≤25,25<X≤55, 55<X≤60.g( x ) f ( x )dx

(55 x)dx (65 x)dx]25 55

55

60

1 ( 12.5 200 450 37.5 ) 60

=11.67(分)18

E(Y)=E(g(X))=

定理 4.1.2 设 Z 是随机变量 X , Y 的函数： Z g ( X , Y ) , ( g 是连续函数) 。若 ( X , Y ) 是二维离散型随机变量， 分布律为：P X xi , Y y i pij , (i, j 1,2, )

则有E Z E g X , Y g xi , y j p ij i 1 j 1

(4.1.5)

若 ( X , Y ) 是连续型随机变量，概率密度为 f ( x, y) ,则E E g X , Y

g x, y f x, y dxdy

(4.1.6)19

作为特例，在此定理中取 g X , Y X , 则得 E X ; 取 g X , Y Y , 则得 E Y 。

例题 例4.1.6 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 1 ,0 x 1, 0 y 1, f x, y 0 , 其它 求： E X , E Y , E XY 解

x 1 1 E X xf x, y dxdy xdxdy xdx 0 0 0 2 0 2 1 1 1

2

由的取值和的对称性，得

1 E Y 2

xdx 1 E XY

xyf x,y dxdy xydxdy 0 0 0 41 1 121

2

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