第7章 matlab矩阵分析(2)

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7.3.1 矩阵的行列式关于矩阵行列式的概念,这里不作赘述,如有 疑问,请参考任何一本线性代数方面的书籍. 如阶矩阵的行列式不等于0,即时,称矩阵非奇 异,否则奇异.如果限定线性方程组的系数矩 阵为方阵,当非奇异,则线性方程有惟一解. 对N阶方阵,MATLAB调用函数得到矩阵行列式, 下面是求阶方阵行列式的例子.

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7.3.2 矩阵的逆若系数矩阵非奇异,即,则线性方程组有惟一 解,该惟一解为,其中为的逆矩阵.对非奇异 矩阵,其逆矩阵是满足以下条件的矩阵:(I为 单位矩阵). MATLAB调用函数inv(A)求的逆矩阵,以下是逆 矩阵应用的一些例子,这些例子也验证了前面 给出的关于逆矩阵的性质.

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7.3.3 矩阵的范数如果将矩阵看作一个线性变换系统,则矩阵范数从整体上描述了系统的放 大作用,矩阵范数的定义如下:.其中为列向量,为向量的范数. 对矩阵,常用的范数有以下几种. 1-范数,,也称为列和范数. 2-范数,,为A的奇异值. 范数,,也称为行和范数. F-范数,. MATLAB利用函数norm计算范数,函数norm的调用格式为: norm(A, opt)

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7.3.4 矩阵的条件数7.3.2小节中提到,当线性方程组系数矩阵非奇异时, 线性方程有唯一惟一解,且该解为.那么一个很容易想 到的问题就是:当系数矩阵接近奇异时,例如很小,利 用求解线性方程组会有什么样的问题? 这里暂且撇开上面提出的问题,而首先考虑以下问题: 即如何衡量是大还是小的问题.对这一问题,显然需要 确定一个参考数量以确定是大还是小,这一参考数量称 为矩阵的范数,用表示.当成立时,则认为小,矩阵是 奇异的.

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7.3.5 矩阵的秩对7.1.2节给出的线性方程组求解问题.根据, 的不同取值,线性方程组可以分为以下三类:

M > N,为超定方程; M = N,为

恰定方程;M < N,为欠定方程.

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7.4 矩阵分解矩阵分解是矩阵理论的重要内容,在信号处理, 自动控制等众多领域中有着非常广泛的应用. 矩阵分解通过将复杂矩阵表示成形式简单或具 有良好数学性质(统称为简单矩阵)的组合, 以便于理论分析或数值计算.通常矩阵分解将 复杂矩阵分解为几个简单矩阵的乘积.在很多 算法研究中,扑惴ǖ奈榷ㄐ院涂焖傩缘龋嗉 烫岢隽烁髦志卣蠓纸夥椒ǎ缣卣鞣纸猓EVD), Schur分解,Cholesky分解,LU分解,QR分解, SVD分解等,

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7.4.1 特征分解

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7.4.2 Schur分解

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