《信号与系统》电子教案
第3章
连续信号与系统的频域分析
3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合 周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数 非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用
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3.1
引言
分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。 在第2章里读者已经看到， 在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数 或冲激函数的线性组合。在时域分析中， 或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信 号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状 把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和， 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 态响应是输入信号与冲激响应的卷积。 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外， 基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃 信号 ε (t ) ,单位三角函数 sin ωt 和 cos ωt 拉公式可表示为 行分解。 行分解。下一页 返回e jωt = cos ω t + sin ωt
,单位复指数信号 e jωt
等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号， 等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧 ，也是单频的。因此若选择三角函 也是单频的。 数或指数函数作为基本信号， 数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进
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3.1
引言
利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。 利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。 频域分析法不但简化了对系统响应的求解， 频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统 的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、 的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途 径。
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3.2
信号分解为正交函数组合∫t2 t1
函数(信号) 1. 函数(信号)正交定义式 任意两个实函数 f1 (t ) 和 f 2 (t ) ,满足关系式 在时间区间( 正交。 则 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在时间区间( t1 , t2 )正交。 若 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 是复函数，且满足关系式 是复函数，f1 (t ) f 2 (t ) dt=0
∫
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t ) dt=∫ f1 (t ) f 2 (t ) dt =0t1
t2
在时间区间( 则称 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在时间区间( 、 f 2 (t ) 分别是 f1 (t ) 、 2. 正交函数集f 2 (t )
正交。 t1 , t2 )正交。其中
f1 (t )
的共轭函数。 的共轭函数。
实函数集合 { g i (t ), g j (t ), , g N (t )} 中如果存在下一页 返
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3.2∫t2 t1
信号分解为正交函数组合i≠ j i= j
0 gi (t ) g j (t )dt= K
则称此实函数集合在区间( 则称此实函数集合在区间(
t1 , t2
)的正交函数集合。如果 的正交函数集合。
K=1,称此实函数集合为归一化正交函数集合。 K=1,称此实函数集合为归一化正交函数集合。 复函数集合 则应满足关系式 正交的， {ω1 (t ), ω2 (t ), , ωN (t )} 如果是在区间 ( t1 , t2 ) 正交的，i≠ j i= j
∫
t2
t1
ωi (t )ω j (t )dt =
0 K
3. 完备正交函数集 如果在正交实函数集 { gi (t )} 之外，不再存在函数x(t),此函 之外，不再存在函数x(t), x(t) 数符合 0 < ∫ x 2 (t ) dt < ∞t1 t2
且满足条件
∫
t2
t1
x(t ) gi (t )dt = 0 i = 1, 2,
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3.2则称
信号分解为正交函数组合
为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。 { gi (t )} 为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般
完备正交函数集包含无穷多个函数。 完备正交函数集包含无穷多个函数。
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周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数 集 {sin nω0t , cos nω0t , n = 1, 2, , ∞} 或{ 的级数统称为傅立叶级数e jnω0t , n = 0, ±1, ±2, , ±∞
}分解而得到 }分解而得到
3.3.1
三角函数形式的傅里叶级数
1.一种三角函数形式的傅里叶级数 设f(t)为任意周期信号(周期 T1 ,角频率 ω1 = 2π ) 则其可展 f(t)为任意周期信号( 为任意周期信号 开为三角函数形式的傅立叶级数∞
T
f (t ) = a0 + ∑ [ an cos(nω1t ) + bn sin(nω1t ) ]n =1
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周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数2.另一种三角函数形式的傅里叶级数 f(t)展开为常用形式 f(t)展开为常用形式 f (t ) = c0 + ∑ cn cos(nω1t + n ) 或f (t ) = d 0 + ∑ d n sin(nω1t + θ n )n =1 ∞n =1 ∞
3.傅立叶级数存在的充分条件 傅立叶级数存在的充分条件 周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件， 周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即 f(t)须满足 1)一个周期内仅有有限个间断点； 一个周期内仅有有限个间断点； 2)一个周期内仅有有限个极值； 一个周期内仅有有限个极值； 3)一个周期内绝对可积，即 一个周期内绝对可积，t0 +T10
∫t
f (t ) dt < ∞上一页 下一页 返回
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周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数4.基波、谐波 基波、2π 称为基波或一次谐波， 通常把频率为 f1 = T1 = 称为基波或一次谐波，c1 cos (ω1t + 1 ) ω1 称为基波分量。同理， 称为n d n sin (ωnt + n 或 称为基波分量。
同理，频率 称为n次谐波其对) nf1 d 称为n次谐波波分量。 应的1 sin (ω1t + 1 ) 或 称为n次谐波波分量。 cn cos (ωnt + n ) 幅度谱、 5.幅度谱、相位谱
用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、 用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波 等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图 等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所 示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱 这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量， 线的高度代表这一正弦分量的振幅， 线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表 这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅， 这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅， 所以称为振幅频谱。 所以称为振幅频谱。上一页 下一页 返回
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