高中数学知识要点(适合中等及以上学生研习)(5)

7．快速判定函数单调性：设f (x )， g(x)具有单调性（常数 >0），则

①√n ， f(x)与f(x)有相同的单调性；【但要注意√f(x)n （n 为偶数时）的单调区间的变化．

】 ②? f(x)，1f(x)与f(x)有相反的单调性；【但要注意1

f(x)（当存在x 0使得f (x 0)=0时）的单调区间的变化．】 ③若f (x )，g(x)都是区间D 上的增（减）函数，则F(x)=f (x )+g(x)在区间D 上也是增（减）函数．

④设f (x )，g(x)都是区间D 上的函数值恒正的增（减）函数，则F(x)=f (x )?g(x)在区间D 上也是增（减）函数．

8．讨论二次函数的单调性（或值域），总是与对称轴有不解之缘，要时刻考虑对称轴的位置．

9．①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．

⒑ 解决函数问题起着非常重要的作用．

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读书百遍，其义自见。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充

1．由y =f (u )，u =g (x )得到y =f(g(x))，则y =f(g(x))就称为y =f (u )，u =g(x)的复合函数．

2．复合函数的单调性（如右表）：“同增异减”．

（还可用单调性定义研究y =f(g(x))的单调性．）

（还可用导数法直接研究y =f(g(x))的单调性！） 2.1当外层函数y =f (u )的单调性单一时，应重点研究内层函数u =g(x)的单调性，最后针对内层函数u =g(x)的单

调区间复合．【设u =g(x)的定义域为区间A ，值域为区间B ，若y =f(u)在区间B 上为减函数，u =g(x)在区间A 上为减函数，则y =f(g(x))在区间A 为增函数．可以用单调性定义证明这个结论！其它三种情形同理．】

2.2当外层函数y =f (u )的单调性多样时，应先研究外层函数y =f (u )的单调性，然后由u 的每一个单调范围解出对

应的x 的范围并确定在此范围下g(x)的单调性，最后复合． 【其实此时用导数法更为简单！】

2.3能根据y =f (u )，u =g (x )，y =f(g(x))这三个函数中任意两个函数的单调性，确定第三个函数的单调性．

2.4“同增异减”：①对于y =a f(x)，令u =f(x)，则y =a u ； ②对于y =log a f (x )，令u =f(x)，则y =log a u ，

这样就变成复合函数来研究单调性问题．

2.5“大同小异”：对于y =a f(x)，或y =log a f (x )， ①大同：当a >1时，y =a f(x)(或y =log a f (x ))的增减性与y =f(x)的增减性相同，

②小异：当0

函数问题主要表现为以下方面

?求定义域，?求解析式，?求值、值域或最值，?作图或利用图象（含变换），?确定单调性，?判断奇偶性， ?比较大小，?解方程，?解不等式，?分段函数、复合函数、抽象函数问题，⑴求定点、定值，⑵含参数分类讨论问题，⑶恒成立、有解、无解求参数取值范围问题，⑷零点问题，⑸函数的应用，⑹函数综合题．

在2.4与2.5中，对于y =log a f (x )，

都应该在f (x )>0条件下研究．

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题7 奇偶性、对称性(B1)

1．奇偶性定义：先注意定义域是否关于原点对称，再比较f(?x)与f(x)的关系．

【奇函数、偶函数定义域一定关于原点对称．】

?f (?x )=f (x )?f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y 轴对称

【?f (?x )?f (x )=0?

f(;x)f(x)=1】； ?f (?x )=?f (x )?f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称 【?f (?x )+f (x )=0?

f(;x)f(x)=?1】． 【注意】①奇函数f (x )的定义域若包括0，则有f (0)=0． ②f(x)为偶函数?f (x )=f(|x|)，常用于解（抽象函数型）不等式或方程． ③判断函数奇偶性有时还需先在定义域内对函数解析式化简或作适当变形．

④分段函数可以分步判断，或整体代入后判断，（也可以考虑合二为一后判断．）

⑤若没有奇偶性，则可通过取反例证明，如：f (?2)≠±f(2)．

2．①偶函数利用f (x )=f (?x )=?，奇函数利用f (x )=?f (?x )=?，

求具有奇偶性的分段函数在对称区间上的解析式．

②偶函数利用f (x )=f(|x|)，奇函数利用?f (x )=f(?x)，结合单调性解与抽象函数有关的不等式或方程． 或对偶函数型不等式f (x 1)

3．含参数的函数具有奇偶性，一般要先利用奇偶性求出参数！

①用定义f (?x )=f (x )，或f (?x )=?f (x )去转化求解（利用恒成立或比较系数完成）；

②对定义f (?x )=f (x )，或f (?x )=?f (x )中的x 取具体值而得方程（组），然后解方程（组）．

说明：方法②用于解答题中，则需将所求得的值代入函数，验证函数确实为奇函数或偶函数．

4．两段式的分段函数若具有奇偶性，则其构造模式为（注意：必要时可合二为一！）：

奇函数：y ={f (x )， x >0，?f (?x )，x <0．

【=|x|x f (|x |)】； 偶函数：y ={f (x )， x >0，

f (?x )，x <0． 【=f(|x |)】． 【两段式的分段函数，只有当上下两段只有“+，?”的符号差异时，则才可能具有奇偶性！】

5．①y =f (x +a )为奇函数?y =f(x)的图象关于点(a ，0)成中心对称；

②y =f (x +a )为偶函数?y =f (x )的图象关于直线x =a 对称．

可借助令g(x)=f(x +a)后根据奇偶性转化或根据图象变换，来理解这两个结论！

【①的证明：∵g(x)是奇函数，∴g (?x )=?g(x)，即f (?x +a )=?f(x +a)，

又即f (a ?x )+f (a +x )=0，∴y =f(x)的图象关于点(a ，0)成中心对称．

②的证明：∵g(x)是偶函数，∴g (?x )=g(x)，即f (?x +a )=f(x +a)，

又即f (a ?x )=f (a +x )，∴y =f(x)的图象关于直线x =a 对称．】

这两条一定要掌握！ 常用于对数型函数的

奇偶性的判断或证明．

业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 补充

1．轴对称（自对称）：

①f (a +x )=f (a ?x )?y =f(x)图象关于直线x =a ②f (a +x )=f (b ?x )?y =f (x )图象关于直线x =

a:b

2对称．2．中心对称（自对称）：

①f (a +x )+f (a ?x )=0?函数y =f(x)图象关于点(a ，0)成中心对称；

②f (a +x )

+f (a ?x )=2b ?函数y =f(x)图象关于点(a ，b)成中心对称；

③f (a +x )+f (b ?x )=c ?函数y =f(x)图象关于点(a:b

2，c 2)成中心对称．3．若f(x)图象关于直线x =a 或点(a ，0)对称，且f(x)有n 个零点x 1，x 2，?，x n ，则x 1+x 2+?+x n =na ．

若f (x )，g(x)的图象都关于直线x =a 对称，且它们有n 个交点，则交点的横坐标之和为na ．

若f (x )，g(x)的图象都关于点(a ，b)对称，且它们有n 个交点，则交点的横坐标之和为na ，纵坐标之和为nb ．

【上面这些结论的推导，都需要运用中点坐标公式．】

4．可以利用f (x )与f ′(x)，探索f(x)的对称轴x =a 或对称中心(a ，f (a ))．

性质：若函数y =f(x)是偶函数，则y =f′(x)是奇函数；若函数y =f(x)是奇函数，则y =f′(x)是偶函数．

5．奇函数、偶函数定义域关于原点对称．一般地，函数关于点(a ，b)成中心对称或关于直线x =a 成轴对称，则定

义域关于直线x =a 对称或点(a ，0)对称．

数学思想方法

1．函数与方程的思想：

（1）函数思想：用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．

（函数的单调性、奇偶性、零点等能否确定?）

（2）方程思想：转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如含参数的方程的讨论、曲线与方程的相互转化．

2．数形结合的思想：是一种非常实用的思想方法．

（求单调区间、值域、解集、零点、判断奇偶性等都可充分利用图象．）

（1）由形到数易，由数到形难；难点一突破，思路如涌泉．

（2）数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合千般好，隔裂分家万事休．

3．分类讨论的思想（分类与整合的思想）：整合（即总结）时需要注意下列情形

（1）对参数a 分情况，解关于x 的不等式：最后结果不能并，只能对参数a 分情况，将x 的解集对应列出；

（2）对变量x 分情况，解关于x 的不等式：最后结果必须并，如解与分段函数有关的不等式．

（3）关于x 的不等式恒成立，求参数a 的取值范围：

若需对x 分情况，才能对应求出参数a 的取值范围，则最后结果要取交集．

4．化归与转化的思想：几乎无处不在．复杂问题简单化，较难问题容易化，陌生问题熟悉化．

思路未定，化简先行；已知推导，未知转化；前后联系，问题突破．

腹有诗书气自华。

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知识改变命运，奋斗成就梦想！ 多思出悟性，常悟获精华！ 专题8 周期性(B4)

1．若函数f(x)对定义域内的任意x 满足：f (x +T )=f(x)，则T 为函数f(x)的周期．

2．你能熟练地推出下列函数的周期吗？【变量替换，等量代换！】还要注意这些式子本身的应用．

①f (x +a )=1f(x)，则f(x)的周期T =2a ； ②f (x +a )=f(x ?a)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=?1f(x)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=?f(x)，则f(x)的周期T =2a ； f (x +a )=λf(x)，则f(x)的周期T =2a ；(λ为常数) f (x +a )+f (x )=b ，则f(x)的周期T =2a ；

③若f(x)关于点(a ，0)，(b ，0)对称，则f(x)是周期函数，且T =2|a ?b|；

④若f(x)图象有两条对称轴x =a ，x =b ，则f(x)是周期函数，且T =2|a ?

⑤若f(x)关于点(a ，0)对称，且关于x =b 对称，则f(x)是周期函数，且T =4|a ?b|；

【若一个函数f(x)具有?对称性Ⅰ：中心对称或轴对称；?对称性Ⅱ：中心对称或轴对称；?周期性中的任意两个条件，则第三个也必然成立．即在???中可以“知二求一”．在客观题中对于③④⑤要学会运用图象迅速观察出周期．】

⑥f (x +a )=11;f(x)，则f(x)的周期T =3a ；【先推出f (x +2a )=1?1f(x)，则f (x +3a )=f(x)．】

⑦f (x +a )=1:f(x)1;f(x)，则f(x)的周期T =4a ；【先推出f (x +2a )=?1f(x)，则f (x +4a )=f(x)．】

⑧f (x +2a )=1:f(x:a)

f(x)，则f(x)的周期T =5a ；【直接证明比较麻烦，可用赋值法转化求数列的周期．】

⑨f (x +2a )=f (x +a )?f(x)，则f(x)的周期T =6a ；【先推出f (x +3a )=?f (x )，则 f (x +6a )=f (x )．】 ⑩有时可由两个函数型不等式联立推出周期．如：f (x +10)≥f (x )，f (x +1)≤f (x )?f (x +1)=f(x)．

3．当x =n ∈N :，a ∈N :时，若a n =f(n)，则由①~⑩可推出数列*a n +的周期．

4．应用：利用f (x )=f(x + T)( ∈Z)求函数值和某个指定区间上的函数解析式，或用于数形结合．

5．函数f (x )={g (x )， x ≤0，

f (x ?T )，x >0．的图象如何作？先作出x ≤0时，f (x )=g(x)的图象，再取(?T ，0-上的图象，

将它向右每次平移T 个单位，即得到(0，T-，(T ，2T-， (2T ，3T-，…，各个区间上的图象．

补充

1．①若f (x +T )=f (x )+B(T ，B 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”阶梯函数．

迭代：f (x )=f (x ?T )+B =f (x ?2T )+2B =?=f (x ?nT )+nB ．

②若f (x +T )=Af (x )(T ，A 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”倍增函数．

迭代：f (x )=Af (x ?T )=A 2f (x ?2T )=?=A n f(x ?nT)．

③若f (x +T )=Af (x )+B(T ，A ，B 为非零常数)，则称f(x)为“周期性”倍增阶梯函数．

迭代：f (x )=Af (x ?T )+B =A 2f (x ?2T )+AB +B =?=A n f (x ?nT )+(A n;1+A n;2+?+A +1)B ．

2．若f (ωx )=Af (x )，则称f(x)为“移动分段放大（或伸缩）”函数．

①利用f (x )=Af (x ω)=?=A n f(x ω)或f (x )=1A f (ωx )=?=1A f(ωn x)可求函数值或分段求解析式； ②利用f (ωx )=Af(x)或f (x )=1A f (ωx )可分段画出下列区间上的图象：

…，(ω?2x 0，ω?1x 0-，(ω?1x 0，x 0-，(x 0，ωx 0-，(ωx 0，ω2x 0-，(ω2x 0，ω3x 0-，?，

【相邻区间上的图象，本质上是伸缩变换：{x ′=ωx ，y ′=Ay ．

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