高中数学知识点总结及典型例题

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一、函数

1、函数概念与基本初等函数

一、知识导学

1.映射：一般地，设A 、B 两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合 B 的映射，记作f ：A →B.(包括集合A 、B 及A 到B 的对应法则)

2.函数： 设A ，B 都是非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，且B 中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A 到集合 B 的一个函数，记作 ()y f x =.

其中所有的输入值x 组成的集合A 称为函数()y f x =定义域.

对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域.

3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x ∈A)的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x=f -1(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么x=f -1(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数 叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作x=f -1(y). 我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f -1(y)中的字母x,y ，把它改写成y=f -1(x) 反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

二、疑难知识导析

1.对映射概念的认识

(1) 与 是不同的，即

与

上有序的.或者说：映射是有方向的，

(2) 输出值的集合是集合B 的子集.即集合B 中可能有元素在集合A 中找不到对应的输入值.集合A 中每一个输入值，在集合B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.

(3)集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.

2.对函数概念的认识

（1）对函数符号 ()f x 的理解知道 y=()f x 与 ()f x 的含义是一样的，它们都表示

是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.

(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；

（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.

3.对反函数概念的认识

（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.

（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.

三、经典例题导讲

[例1]设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；

（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数. 解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射 （2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→????????→-→-→→????????→-→-→-→????

[例2]已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域 正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤

10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0]

[例3]已知：*,x N ∈5

(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥?=?+

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正解：∵ 5

(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥?=?+

∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2 [例4]已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？

错解：正确

错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数

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1()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.

[例5]求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.

解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+

∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，

()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，

[例6]根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .

（2）已知(1)2f x x x +=+，求()f x

（3）若()f x 满足1

()2(),f x f ax x +=求()f x 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解 设()f x ＝2(0)ax bx c

a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+， 又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x

b x ax bx x +++=+++

即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 2110

2

1a b b a a b a b +=+??∴≠∴==??+=? 因此：()f x ＝ (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥ ∴()f x ＝21x - （1x ≥）

（3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解

用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x += 与 1()2()f x f ax x += 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233

a ax x -. 点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.

[例7] 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.

1(0),1(1)

u x x x u u =+≥∴=-≥21122x x +

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分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将2

2y x +变为一元二次函数,2

9)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.

解 由 x y x 62322=+得

.20,032

3,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y 又,2

9)3(21323222

22+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由 x y x 6232

2=+得 ,32

322x x y +-= ,2

9)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..

2、函数的性质

1.函数的单调性：

（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时，都有f(x 1)

（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.

2.函数的奇偶性：

（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.

（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.

（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.

3.函数的图像：将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x 0,f(x 0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.

二、疑难知识导析

1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数

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4 在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.

2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.

3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.

三、经典例题导讲

[例1]判断函数1()3x y -=的单调性.

正解： 令t x =-，则该函数在R 上是减函数，又1101,()33t y <<∴=在R 上是减函数， ∴ 1

()3x y -=是增函数 [例2]判断函数1()(1)1x f x x x

-=++的奇偶性. 正解：1()(1)1x f x x x -=++有意义时必须满足10111x x x

-≥?-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 [例3] 判断22()log (1)f x x x =++的奇偶性.

正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f

∴)(x f 是奇函数

方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++

-+++=-+x x x x x f x f

＝01log )1()1[(log 2222==++-?++x x x x )()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数

[例5] 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2

－3)<0,求x 的取值范围. 正解：由???<<-<

6603333332x x x x 得,故0

),又f (x )在(－3，3)上是减函数，

∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2

一、知识导学

1. 二次函数的概念、图像和性质. （1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠ 二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m n a =-+≠和 二次函数的坐标式12()()()

(0)f x a x x x x a =--≠

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