新苏教版八年级数学上册《勾股定理的逆定理》 教学案

《勾股定理的逆定理》教学案

预习目标

1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）．

2．会运用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形． 3．经历探索一个三角形是直角三角形的判定条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系．

教材导读

阅读教材P83～P84内容，回答下列问题： 1．勾股定理的逆定理

(1)操作：①以6 cm、8 cm、10 cm为三边的长画一个三角形，再以6 cm、8 cm为两直角边的长画一个直角三角形；②把你所画的边长为6 cm、8 cm、10 cm的三角形和直角边长为6 cm、8 cm的直角三角形分别剪下来；③将所剪下来的两个三角形叠合在一起．

(2)观察、猜想：叠合后的两个三角形存在_______关系． (3)归纳总结：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是_______三角形．

2．勾股数

(1)满足关系a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c、称为勾股数．

(2)常见的勾股数：①3，4，5；②5，1 2，_______ ；③6，_______，10；④7，24_______；⑤8_______，17；⑥9，40，41． 3．勾股数的倍数仍是勾股数

已知a、b、c是一组勾股数，且满足a2＋b2＝c2，如果将这三个数分别扩大n倍，所得的3个数为na、nb、nc，那么(na)2＋(nb)2＝_______＝n2（_______）＝，(nc)2＝_______，因此可得(na)2＋(nb)2＝(nc)2，即na、nb、nc还是一组勾股数．

例题精讲

例1 判断由下列线段a、b、c组成的三角形是否是直角三角形．

53，b＝1，c＝． (2)a＝40，b＝50，c＝60． (3)a＝35，b＝12，c＝37． 44 提示：(1)三个数同时乘4，得a＝5，b＝4，c＝3，显然是勾股数．(2)三个数同时除以10，得a＝4，b＝5，c＝6，显然a2＋b2≠c2，不是勾股数．(3) c2－a2＝372－352＝(37－1－35)×(37－35)＝72×2＝144＝b2，是勾股数，

解答：(1)是直角三角形． (2)不是直角三角形． (3)是直角三角形．

点评：本题的实质是判断三个数是不是勾股数，选取两条较短的边计算其平方和，再与最长的边的平方比较，若相等，则由这三条线段组成的三角形是直角三角形，否则就不是直角三角形，若能理解“教材导读”3中的技巧，则可以加快解题的速度．

例2 (1)已知△ABC的三边长a、b、c满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．

(2)已知△ABC的三边长a、b、c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状．

提示：利用因式分解、平方差公式和完全平方公式解题．

(1)a＝

点评：解本题的关键是灵活运用乘法公式，根据三角形三边关系判断三角形的形状．在(1)的解答中，要注意不能两边同时除以a2－b2，否则会丢失a2－b2＝0的情况，使答案不全面． 例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝ 13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．

提示：把不规则四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积和．

[来源:Z|xx|k.Com]

点评：计算不规则图形的面积时，通常把不规则图形分割成几个规则的图形，如直角三角形，在解题过程中，发现某个三角形的三边长为常见的勾股数时，要能迅速地判断出这是一个直角三角形．

热身练习

1．已知下列4个三角形的边长：①a＝5，b＝12，c＝13；②a＝2，b＝3，c＝4；③a＝2.5，b＝6，c＝6.5；④a＝21，b＝20，c＝29．其中．直角三角形的个数是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1

2．若△ABC的三边长a、b、c满足(a－b)（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

3．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ( )

A．90° B．60° C．45° D．30°

4．写出三个连续的自然数，使它们恰好组成一组勾股数，这三个数分别是 （ ）

5．测得一个三角形花坛的三边长分别为6m、8m、10 m，则这个花坛的面积是_______、_______、

_______．

6．判断下列各组数是否是勾股数．

(1)12，16，18． (2)7，24，25. (3)10，24926. (4)12，35，38. (5)4，5，7.

7．如图，在△ABC中，AB＝17，BC＝30，BC边上的中线AD＝8，∠B与∠C相等吗？为什么？

8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AD＝9，BD＝1，CD＝3，△ABC是直角三角形吗？为什么？

9．如图是一块地，已知AD＝4 m，CD＝3 m，AD上DC，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积．

参考答案

1．B 2．C 3．C 4．3 4 5 5．24 m2 6． (1)不是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)不是 7．∠B与∠C相等 8．是 9．24m2