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《空间向量与立体几何》 测试含答案

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故P,Q分别为BC,CD的中点时,QB1?PD1.

21.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中,?ABC?90°,SA?面ABCD,

1求面SCD与面SBA所成二面角的正切SA?AB?BC?1,AD?,2值.

解:建立如图所示的空间直角坐标系,

?1?则A(0,0,,0)B(?1,0,,0)C(?11,,,0)D?0,,0?,S(0,0,1).

2??延长CD交x轴于点F,易得F(1,0,0), 作AE?SF于点E,连结DE,

则?DEA即为面SCD与面SBA所成二面角的平面角.

?11?又由于SA?AF且SA?AF,得E?,0,?,

?22?1??1?111?那么EA???,0,??,ED???,,??,

22222????从而cosEA,ED?EA·EDEAED2. 22. 2

?6, 3

因此tanEAF,ED?故面SCD与面SBA所成二面角的正切值为

22.平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且?C1CB??C1CD??BCD,试问:当

CD的值为多少时,A1C?面C1BD?请予以证明. CC1解:欲使A1C?面C1BD,只须AC?C1D,且AC?C1B. 11·C1D?0, 欲证AC?C1D,只须证CA11)(CD?CC1)?0, 即(CA?AA1·)(CD?CC1)?0, 也就是(CD?CB?CC1·

即CD?CC1?CBCDcos?BCD?CBCC1cos?C1CB?0. 由于?C1CB??BCD,

显然,当CD?CC1时,上式成立; 同理可得,当CD?CC1时,AC?C1B. 1因此,当

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CD?1时,A1C?面C1BD. CC122

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