河南省师范大学附属中学高中数学 第2章 圆锥曲线同步

河南省师范大学附属中学2014高中数学 第2章 圆锥曲线同步练习

10 理（实验班）新人教A版选修2-1

一、选择题

1．过抛物线y＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1) 、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么，|AB|等于( ) A．8

22

2

B．10 C．6 D．4

22

2．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为( ) A．x＝－4y＋4 B．y＝－4x＋4 C．x＝－8y＋8 D．y＝－8x＋8

3．设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．4

B．6 C．8

2

2

D．12

4．已知A、B在抛物线y＝2px(p>0)上，O为坐标原点，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( ) A．x－p＝0

B．4x－3p＝0

C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0

→→2

5．过抛物线y＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA·OB的值是( ) A．12 A．圆 二填空题

7．已知点A(4,0)，M是抛物线y＝6x上的动点，当点M到A距离最小时，M点坐标为________． 8．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 三解答题

9．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

→→(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

1

2

2

B．－12 C．3 D．－3

D．抛物线

6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )

B．椭圆 C．双曲线

→→52

10．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB2所在的直线方程．

2

练习十

1.A；2.D；3.B；4.C；5.D；6.D；7. (1，±6)；8.2；

9. [解析] (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： (x－1)＋y－x＝1(x>0) 化简得y＝4x(x>0)

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??x＝ty＋m设l的方程为x＝ty＋m，由?2

?y＝4x?

222

得y－4ty－4m＝0，

2

此时Δ＝16(t＋m)>0.

??y1＋y2＝4t于是?

?y1·y2＝－4m?

2

①

→→

又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)

→→

FA·FB<0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0②

(y1y2)12

又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－(＋)＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)－

44444642y1y2]＋1<0③

由①式，不等式③等价于m－6m＋1<4t④

对任意实数t,4t的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m－6m＋1<0，即3－22

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任意一直线，都有→→

FA·FB<0，且m的取值范围是(3－22，3＋22)．

2

2

2

2

y2y2y212y2y212

2

p5

10. [解析] 解法1：焦点F(，0)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若AB⊥Ox，则|AB|＝2p

22

所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k(x－)，k≠0.

2

pp??y＝k(x－)，2由?

??y2＝2px，

2

消去x，整理得ky－2py－kp＝0.

22

2p2由韦达定理得，y1＋y2＝，y1y2＝－p.

k∴|AB|＝(x1－x2)＋(y1－y2) ＝ ＝

1152

1＋2·(y1＋y2)－4y1y2＝2p(1＋2)＝p. kk212(1＋2)·(y1－y2)

2

k解得k＝±2.

∴AB所在直线方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．

22

3

pp解法2：如图所示，抛物线y＝2px(p>0)的准线为x＝－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设A、B2到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|＝dA＝x1＋，|BF|＝dB＝x2＋，

2

ppp22

于是|AB|＝x53

1＋x2＋p＝2p；x1＋x2＝2

p.

当xx＝2p<5

1＝2时，|AB|2p，直线AB与Ox不垂直．

设直线AB的方程为y＝k(x－p2

)．

?由??

y＝k(x－p2)，得k2x2－p(k2

＋2)x＋122??y2＝2px，

4

kp＝0.

xp(k2＋2)p(k2＋2)3

1＋x2＝k2，即k2＝2

p，解得k＝±2.

∴直线AB的方程为y＝2(x－p)或y＝－2(x－p22)．

4