说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．
1．设x，y∈R且3x＋2y＝6x，则x＋y的取值范围是________． 解析：法一：由6x－3x＝2y≥0，得0≤x≤2. 3212222
由y＝3x－x，得x＋y＝－x＋3x
22192
＝－(x－3)＋∈[0,4]．
22
2
2
2
2
2
2
x－1＝cos α，??y222
法二：由3x＋2y＝6x，得(x－1)＋＝1，设?63y＝sin α，?2?2
2
则x＋y＝1＋2cos α＋cosα222
33121252
＋sinα＝1＋＋2cos α－cosα＝－cosα＋2cos α＋∈[0,4]． 22222
答案：[0,4]
131
2．已知a>b>1，且logab＋3logba＝，则a＋2的最小值为________．
2b－11
解析：令t＝logab
t13313
则logab＋3logba＝可化为t＋＝.
2t2
112
解得t＝或t＝6(舍去)，即logab＝，则b＝a，即b＝a，
22所以a＋
111
＝a＋＝(a－1)＋＋1≥2 b－1a－1a－1
2
a－1×＋1＝3，当且仅当a－1＝，
a－1a－1
11
即a＝2时取等号．
答案：3
3．若不等式x＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．
解析：∵x＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x－4x＋3>0，令g(p)＝(x－1)p＋x－4x＋3，则要使它对
??g0≤p≤4均有g(p)>0，只要有?
??g2
2
2
2
0>0，
4>0，
解得x>3或x<－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
π
4．若函数y＝cos x在区间[0，m]上至少取得2个最大值点，则正整数m的最小值为________．
3解析：因为x∈[0，m]，所以
π?π?π
x∈?0，m?，因为函数y＝cosx在区间[0，m]上至少取得2个最大
3?33?
π
值点，所以m≥2π，即m≥6，所以正整数m的最小值为6
3
答案：6
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
|c|
解析：原命题等价于圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即<1，故c的取值范围是(－
1313,13)．
答案：(－13,13)
2
2
mx2＋8x＋n6．已知函数f(x)＝log3的定义域为R，值域为[0,2]，则m＝________，n＝________.
x2＋1mx2＋8x＋n22
解析：由u＝，得(u－m)x－8x＋(u－n)＝0.∵x∈R，u－m≠0，∴Δ＝(－8)－4(u－m)(u2
x＋1
－n)≥0.即u－(m＋n)u＋(mn－16)≤0.由1≤u≤9知，关于u的一元二次方程u－(m＋n)u＋(mn－16)＝0的两根为1,9，由韦达定理，得m＋n＝1＋9，mn－16＝1×9，解得m＝n＝5.
答案：5 5
7．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为________．
1
解析：特殊化法，取直棱柱，且P，Q为侧棱的中点，连结AQ，则VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2×S△ABC·QC31111＝2×S△ABC×C1C＝S△ABC×C1C＝V.
3233
1答案：V
3
2
2
x－y－2≤0，??
8．设实数x，y满足?x＋2y－5≥0，
??y－2≤0，
则u＝－的取值范围是________．
yxxy?1?解析：由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是?，2?，故?3???t∈?，2?， 3?
?
u＝t－，根据函数u＝t－在?，2?上单调递增，得u∈?－，?.
tt?3??32?
1
1
1
令t＝，则
yx?1
?
?83?
?83?答案：?－，? ?32?
uuuruuurx2y2
9．设A1，A2为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得PO·PA2
ab＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
?a?22a解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x>0)，以OA2为直径的圆方程为?x－?＋y＝，与椭圆方
4?2?
程联立得ex－ax＋b＝0.由题设知，要求此方程在(0，a)上有实根，∵x＝a为其一根，则另一根为2－a，
22
2
2
aea?2?21
且2－a
答案：?
?2?
，1? ?2?
2
10．已知集合A＝{x|x＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是________．
解析：到不等式x＋a≤x(a＋1)，即(x－a)(x－1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a.要使集合
2
A中所有整数元素的和为28，必有a>1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为
28，因此由集合A中所有整数元素的和为28得7≤a＜8，即实数a的取值范围是[7,8)．
答案：[7,8)
7
1＋7
＝2
11．我们知道，在三角形ABC中，若三边a，b，c满足c＝a＋b，则三角形ABC是直角三角形，现在请你研究：若c＝a＋b(n≥3的自然数)，问三角形ABC为哪种三角形？为什么？
解：三角形ABC是锐角三角形．∵c＝a＋b， ∴c>a，c>b即c是三角形ABC的最大边， ∴要证角C是锐角，只要证cos C>0即可．
nnnnnn222
a2＋b2－c2222
而cos C＝，即证a＋b>c，
2ab构造函数f(x)＝??＋??.
cc∵c>a，c>b，∴1>>0,1>>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵n>2，∴f(n)
cccccc∴??＋??>1，即a＋b>c. 故当n>2时，三角形是锐角三角形．
72??12．若定义在(－∞，4]上的减函数f(x)，使得不等式f(m－sin x)≤f?1＋2m－＋cosx?对于一切
4??实数x均成立，求m的取值范围．
?a?x?b?x????
acbc?a?n?b?n?a?2?b?2????????
2
?a?n?b?n????
?a?2?b?2?c??c?
22
?m－sin x≤4，
?2?1＋2m－74
＋cosx≤4，解：依题意
?1＋2m－7
＋cos2
x≤m－sin ?4
x，
1＋2m≥0
对任意x∈R恒成立．
?m－sin 由不等式的性质可知，第二个不等式可省略，故?x≤4，
?m－1＋2m≥－??sin x－1?2
1?2?－
??
?21＋2m≥0
成立．
因为(m－sin x)max＝m＋1，???
sin x－12??2?min＝0，
?m＋1≤4，
所以??1＋2m－m≤1
，
?2
?1＋2m≥0，
解此不等式组，得m＝－12或3
2
≤m≤3，
即m的取值范围为???m???m＝－13
?2，或2≤m≤3?
?
.
x∈R恒
，对
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