说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．
1．设x，y∈R且3x＋2y＝6x，则x＋y的取值范围是________． 解析：法一：由6x－3x＝2y≥0，得0≤x≤2. 3212222
由y＝3x－x，得x＋y＝－x＋3x
22192
＝－(x－3)＋∈[0,4]．
22
2
2
2
2
2
2
x－1＝cos α，??y222
法二：由3x＋2y＝6x，得(x－1)＋＝1，设?63y＝sin α，?2?2
2
则x＋y＝1＋2cos α＋cosα222
33121252
＋sinα＝1＋＋2cos α－cosα＝－cosα＋2cos α＋∈[0,4]． 22222
答案：[0,4]
131
2．已知a>b>1，且logab＋3logba＝，则a＋2的最小值为________．
2b－11
解析：令t＝logab t13313 则logab＋3logba＝可化为t＋＝. 2t2 112 解得t＝或t＝6(舍去)，即logab＝，则b＝a，即b＝a， 22所以a＋ 111 ＝a＋＝(a－1)＋＋1≥2 b－1a－1a－1 2 a－1×＋1＝3，当且仅当a－1＝， a－1a－1 11 即a＝2时取等号． 答案：3 3．若不等式x＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________． 解析：∵x＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x－4x＋3>0，令g(p)＝(x－1)p＋x－4x＋3，则要使它对 ??g0≤p≤4均有g(p)>0，只要有? ??g2 2 2 2 0>0， 4>0， 解得x>3或x<－1. 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) π 4．若函数y＝cos x在区间[0，m]上至少取得2个最大值点，则正整数m的最小值为________． 3解析：因为x∈[0，m]，所以 π?π?π x∈?0，m?，因为函数y＝cosx在区间[0，m]上至少取得2个最大 3?33? π 值点，所以m≥2π，即m≥6，所以正整数m的最小值为6 3 答案：6 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． |c| 解析：原命题等价于圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即<1，故c的取值范围是(－ 1313,13)． 答案：(－13,13) 2 2 mx2＋8x＋n6．已知函数f(x)＝log3的定义域为R，值域为[0,2]，则m＝________，n＝________. x2＋1mx2＋8x＋n22 解析：由u＝，得(u－m)x－8x＋(u－n)＝0.∵x∈R，u－m≠0，∴Δ＝(－8)－4(u－m)(u2 x＋1 －n)≥0.即u－(m＋n)u＋(mn－16)≤0.由1≤u≤9知，关于u的一元二次方程u－(m＋n)u＋(mn－16)＝0的两根为1,9，由韦达定理，得m＋n＝1＋9，mn－16＝1×9，解得m＝n＝5. 答案：5 5 7．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为________． 1 解析：特殊化法，取直棱柱，且P，Q为侧棱的中点，连结AQ，则VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2×S△ABC·QC31111＝2×S△ABC×C1C＝S△ABC×C1C＝V. 3233 1答案：V 3 2 2 x－y－2≤0，?? 8．设实数x，y满足?x＋2y－5≥0， ??y－2≤0， 则u＝－的取值范围是________． yxxy?1?解析：由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是?，2?，故?3???t∈?，2?， 3? ? u＝t－，根据函数u＝t－在?，2?上单调递增，得u∈?－，?. tt?3??32? 1 1 1 令t＝，则 yx?1 ? ?83? ?83?答案：?－，? ?32? uuuruuurx2y2 9．设A1，A2为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P，使得PO·PA2 ab＝0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________． ?a?22a解析：由题设知∠OPA2＝90°，设P(x，y)(x>0)，以OA2为直径的圆方程为?x－?＋y＝，与椭圆方 4?2? 程联立得ex－ax＋b＝0.由题设知，要求此方程在(0，a)上有实根，∵x＝a为其一根，则另一根为2－a， 22 2 2 aea?2?21 且2－a 答案：? ?2? ，1? ?2? 2 10．已知集合A＝{x|x＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是________． 解析：到不等式x＋a≤x(a＋1)，即(x－a)(x－1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a.要使集合 2 A中所有整数元素的和为28，必有a>1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为 28，因此由集合A中所有整数元素的和为28得7≤a＜8，即实数a的取值范围是[7,8)． 答案：[7,8) 7 1＋7 ＝2 11．我们知道，在三角形ABC中，若三边a，b，c满足c＝a＋b，则三角形ABC是直角三角形，现在请你研究：若c＝a＋b(n≥3的自然数)，问三角形ABC为哪种三角形？为什么？ 解：三角形ABC是锐角三角形．∵c＝a＋b， ∴c>a，c>b即c是三角形ABC的最大边， ∴要证角C是锐角，只要证cos C>0即可． nnnnnn222 a2＋b2－c2222 而cos C＝，即证a＋b>c， 2ab构造函数f(x)＝??＋??. cc∵c>a，c>b，∴1>>0,1>>0. ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数． ∵n>2，∴f(n) cccccc∴??＋??>1，即a＋b>c. 故当n>2时，三角形是锐角三角形． 72??12．若定义在(－∞，4]上的减函数f(x)，使得不等式f(m－sin x)≤f?1＋2m－＋cosx?对于一切 4??实数x均成立，求m的取值范围． ?a?x?b?x???? acbc?a?n?b?n?a?2?b?2???????? 2 ?a?n?b?n???? ?a?2?b?2?c??c? 22 ?m－sin x≤4， ?2?1＋2m－74 ＋cosx≤4，解：依题意 ?1＋2m－7 ＋cos2 x≤m－sin ?4 x， 1＋2m≥0 对任意x∈R恒成立． ?m－sin 由不等式的性质可知，第二个不等式可省略，故?x≤4， ?m－1＋2m≥－??sin x－1?2 1?2?－ ?? ?21＋2m≥0 成立． 因为(m－sin x)max＝m＋1，??? sin x－12??2?min＝0， ?m＋1≤4， 所以??1＋2m－m≤1 ， ?2 ?1＋2m≥0， 解此不等式组，得m＝－12或3 2 ≤m≤3， 即m的取值范围为???m???m＝－13 ?2，或2≤m≤3? ? . x∈R恒 ，对
相关推荐：
loading