【解答过程】解：原式＝＝＝＝
＝1．
÷×
÷
当a＝2时，原式＝
【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
19．（7分）以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）m＝ ，n＝ ． （2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是 度；
（4）若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有 名． 【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【思路分析】（1）根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值； （2）根据（1）中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数． 【解答过程】解：（1）m＝15÷30%＝50， n%＝5÷50×100%＝10%， 故答案为：50，10；
（2）硬件专业的毕业生有：50×40%＝20（人）， 补全的条形统计图如右图所示；
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（3）在扇形统计图中，“软件”所对应的扇形的圆心角是360°×故答案为：72；
（4）600×30%＝180（名）， 即“总线”专业的毕业生有180名， 故答案为：180．
【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
＝72°，
【知识考点】三角形中位线定理；切线的性质．
【思路分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长． 【解答过程】（1）证明：连接AC、OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴CD⊥AD， ∴OC∥AD，
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∴∠OCB＝∠E， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠B＝∠E， ∴AE＝AB；
（2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝
＝8，
∵AB＝AE＝10，AC⊥BE， ∴CE＝BC＝6， ∵
CD?AE＝
＝
AC?CE， ．
∴CD＝
【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
21．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【知识考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【思路分析】（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．
【解答过程】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
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由题意得：50（x+6）+30x＝620， 解得：x＝4， ∴6+4＝10，
答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元， 由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600， ∵2＞0，
∴w随y的增大而增大， ∵y≤2（300﹣y）， ∴0＜y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．
【总结归纳】本题考查了一次函数，一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般．
22．（9分）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且
，AE＝4，AB＝8，
将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．
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【知识考点】相似形综合题．
【思路分析】（1）由正方形的性质得出AE＝AF，∠EAG＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，得出∠EAB＝∠GAD，证明△AEB≌△AGD（SAS），则可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AE＝AG，AB＝AD，证明△AEB≌△AGD（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；
（3）方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，过点G作GN⊥AB交AB于点N，求出AG＝6，AD＝12，证明△AME∽△ANG，设EM＝2a，AM＝2b，则GN＝3a，AN＝3b，则BN＝8﹣3b，可得出答案；
方法二：证明△EAB∽△GAD，得出∠BEA＝∠AGD，则A，E，G，Q四点共圆，得出∠GQP＝∠PAE＝90°，连接EG，BD，由勾股定理可求出答案． 【解答过程】（1）证明：∵四边形AEFG为正方形， ∴AE＝AF，∠EAG＝90°， 又∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG；
（2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG， 理由如下：
∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD，
又∵四边形AEFG和四边形ABCD为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴BE＝DG；
（3）解：方法一：过点E作EM⊥DA，交DA的延长线于点M，
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