4课时二次函数
第
1．(2013·丽水)若二次函数 y＝ax2的图象经过点 P(－2,4)，则该图象必经过点( A )
A．(2,4) C．(－4,2)
B．(－2，－4) D．(4，－2)
2．(2012·衢州)已知二次函数 y＝－12x2－7x ＋，15
x分别取 x1，x2，x3，且 0
D．y2
2 )
的函数值若自变量
3．(2013·衢州)抛物线 y＝x2＋bx＋c的图象先向右 平移 2个单位，再向下平移 3个单位，所得图象的函 数解析式为 y＝(x－1)2－4，则 b，c的值为( B )
A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0 C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2
4．(2013·宁波)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c的 图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，图象经过(3,0)．
下列结论中，正确的一项是( D ) A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜0
5．(2013·义乌)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c与 x轴交于点 A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)， 与 y轴的交点在(0,2)，(0,3)之
间(包含端点)，则下列结论：①当 x＞3时，y＜0；②3a
＋b＞0；③－1≤a≤－23；④3≤n≤4，正确的是( D )
A．①② B．③④ C．①④ D．①③
6．(2011·湖州)如图，
已知抛物线 y＝x2＋bx＋c经过点 (0，－3)，请你确定一个 b的值，使该抛物线与 x轴的一个交点在(1,0)和 (3,0)之间，你所确定的 b的值是 －12 (答案不唯一)．
7．(2013·衢州)某果园有 100棵橘子树，平均每一 棵树结 600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树， 平均每棵树就会少结 5个橘子．设果园增种 x棵橘子 树，果园橘子总个数为 y个，则果园里增种 10棵橘 子树，橘子总个数最多．
8．(2012·嘉兴)某汽车租赁公司拥有 20辆汽车．据 统计，当每辆车的日租金为 400元时，可全部租出； 辆；公司平均每日的各项支出共 4 800元．设公司每日 租出 x辆车时，日收益为 y元(日收益＝日租金收入－ 平均每日各项支出)．
(1)公司每日租出 x辆车时，每辆车的日租金为 1400－50x元(用含 x的代数式表示)；
当每辆车的日租金每增加 50元，未租出的车将增加 1
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？ 最大是多少元？
(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
解：(1)当全部未租出时，每辆租金为：＝1 400，所以公司每日租出 为 1 400－50x.
400＋20×50
x辆时，每辆车的日租金
(2)y＝x(－50x＋1 400)－4 800＝－50x2＋1 400x －4 800＝－50(x－14)2＋5 000.
∴当每日租出 14辆时，租赁公司日收益最大，最 大值为 5 000元．
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即 y＝0. ∵x＝24不合题意，舍去．
∴当日租出 4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．
当 x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值 5 000
即－50(x－14)2＋5 000＝0，解得 x1＝24，x2＝4，
9．(2013·湖州)已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c经过点 A(3,0)，B(－1,0)．
(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．
解：(1)抛物线的解析式为 y＝－即 y＝－x2＋2x＋3.
(2)抛物线的顶点坐标为(1,4)．(x－3)(x＋1)，
10．(2013·宁波)已知抛物线 y ＝ ax2＋ bx＋ c与 x轴交于点 A(1,0)，B(3,0)，且过点 C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点 坐标；
(2)请你写出一种平移的方
法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y＝－x上，并写 出平移后抛物线的解析式．
解：(1)∵抛物线与 x轴交于点 A(1,0)，B(3,0)， 可设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)(x－3)， 把 C(0，－3)代入，得 3a＝－3，∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)(x－3)， 即 y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标为(2,1)．
(2)(答案不唯一，合理即正确 )如先向左平移 2个 单位，再向下平移 1个单位，得到的抛物线的解析式 为 y＝－x2.
11．(2013·杭州)已知抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)
与 x轴相交于点 A，B(点 A，B在原点 O两侧)，与 y
轴相交于点 C，且点 A，C在一次函数 y2＝43x＋n的图
象上，线段 AB长为 16，线段 OC长为 8.当 y1随着 x的增大而减小时，求自变量 x的取值范围．
解：分两种情况：
(1)当点 C在 y轴正半轴时，n＝c＝8. 由 y2＝43x＋8，令 y2＝0，得 x＝－6. 令 x＝0，得 y2＝8. 所以 A(－6,0)，C(0,8)．
因为抛物线在 x轴上截得的线段 AB长为A在原点两侧，所以点 B的坐标为(10,0)，
，点
16
设 y1＝a(x＋6)(x－10)，把 C(0,8)代入，得 a＝－152 8 2
得 y1＝－ x＋ x＋8.
15 15
因为函数 y1随着 x的增大而减小， 8
由－2ba＝－ 15
＝2， 2
2×?－ ??
15
所以所求自变量的取值范围是 x＞2.
(2)当点 C在 y轴负半轴时，因为此时函数图象即 为情况(1)的函数图象绕原点旋转 180°.
所以所求自变量的取值范围是 x＜－2.
1 12．(2013·丽水)如图，已知抛物线 y＝ x2＋bx与 2 直线 y＝2x交于点 O(0,0)，A(a,12)．点 B是抛物线上 O，A之间的一个动点．过点 B分别作 x轴、y轴的平 行线与直线 OA交于点 C，E.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点 C为 OA的中点，求 BC的长；
(3)以 BC，BE为边构造矩形的 BCDE，设点 D的 坐标为(m，n)，求出 m，n之间的关系式．
解：(1)∵点 A(a,12)在直线 y＝2x上，∴12＝2a， 即 a＝6.∴点 A的坐标为(6,12)．又∵点 A是抛物线 y
＝21x2＋bx上的一点，把 A(6,12)代入 y＝21x2＋bx，得＝－1.∴抛物线的函数解析式为 y＝12x2－x.
(2)∵点 C为 OA的中点，∴点 C的坐标为(3,6)．把y＝6代入 y＝21x2－x，解得 x1＝1＋ 13，x2＝1－ 去)，∴BC＝1＋ 13－3＝ 13－2.
13
1
(3)∵点 D的坐标为(m，n)，点 E的坐标为( n， 2 n)，点 C的坐标为(m,2m)．∴点 B的坐标为( 1 2
n,2m)，把( 1 n,2m)代入 y＝12x2－x，可得 m＝1 1 2 n－ n.∴m，2 16 4 之间的关系式是 m＝1 1 2
16 4
n－ n.
n
考点一二次函数的定义 a≠0)，那么 y叫做 x的二次函数．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，且 a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二 次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 x1，x2是图象与 x轴交点的横坐标．
1．一般地，如果 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
考点二 二次函数的图象和性质
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象特征与 a，b，c及 b2－4ac的符号之间的关系
注意：当 x＝1时，y＝a＋b＋c；当 x＝－1时， y＝a－b＋c.若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1时，y＞0； 若 a－b＋c＞0，即当 x＝－1时，y＞0.
考点四 二次函数图象的平移
任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线 y＝ax2
经过平移得到，具体平移方法如下：
温馨提示
二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移， 因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函 数图象间的平移 .
考点五二次函数解析式的求法 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出 a，b，c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大 值或最小值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般 式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与 x轴的两个交点的坐标， 则设交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐 标或其他已知条件代入，求出待定系数 a，最后将解析 式化为一般式．
温馨提示
一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式.
式，它们之间可以互相转化.将顶点式、交点式去括号、
考点六 二次函数与一元二次方程
温馨提示
解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为 0时的自变量 x的取值，反映在函数图象上就是求抛物 线与 x轴交点的横坐标 .
考点七 二次函数的应用 二次函数的应用包括两个方面：
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系； (2)用二次函数解决最大 (小)化问题(即最值问题)，
用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．
考点一 二次函数的图象与性质
(2013·舟山)若一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的图
的对称轴为( C )
A．直线 x＝1 B．直线 x＝－2 C．直线 x＝－1 D．直线 x＝－4
【思路点拨】将点(－2,0 )代入一次函数 y＝ax＋b 中，得出 a，b之间的关系，再根据抛物线的对称轴为 x＝－2ab即可得解．
象与 x轴的交点坐标为(－2,0)，则抛物线 y＝ax2＋bx
方法总结
解决和二次函数的性质有关的问题，应首先把二 次函数的解析式化为顶点式 y＝a?x－h?2＋k的形式， 也可以直接用顶点公式求解.
易知对称轴为 x＝h，最值为 y＝k，顶点坐标为?h，k?，
(2013·泰安)对于抛物线 y＝－12(x＋1)2
＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1,3)；④x＞1时，y随 x的增大而减 小．其中正确结论的个数为( C )
A．1. B．2 C．3 D．4
(2013·日照)如图，已知抛物线 y1＝
－x2＋4x和直线 y2＝2x.我们约定：当 x任取一值时， x对应的函数值分别为 y1，y2，若 y1≠y2，取 y1，y2中
的较小值记为 M；若 y1＝y2，记 M＝y1＝y2.下列判断：
①当 x＞2时，M＝y2；②当 x＜0时，x值越大， 2，则 x＝1.其中正确的有 (
)
M值越大；③使得 M大于 4的 x值不存在；④若 M＝
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：∵当 y1＝y2时，即－x2＋4x＝2x时，解得 x＝0或 x＝2，∴当 x＞2时，利用函数图象可以得出 y2＞y1；当 0＜x＜2时，y1＞y2；当 x＜0时，利用函数 图象可以得出 y2＞y1；∴①错误；
∵当 x＜0时，根据函数图象可以得出 x值越大， M值越大；∴②正确；∵抛物线 y1＝－x2＋4x的最大 值为 4，故 M大于 4的 x值不存在，∴③正确；∵由
图可知，当 0＜x＜2时，y1＞y2；若 M＝2，则 2x＝2，
x＝1；当 x＞2时，y2＞y1；若 M＝2，则－x2＋4x＝2，1或 2＋ 2，∴④错误．故选 B.
答案：B
x1＝2＋ 2，x2＝2－ 2(舍去)，∴使得 M＝2的 x值是
考点二 抛物线与几何变换
(2013·雅安)将抛物线 y＝(x－1)2＋3向左平
析式为( D )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x－2)2＋6 C．y＝x2＋6 D．y＝x2
移 1个单位，再向下平移 3个单位后所得抛物线的解
【思路点拨】根据抛物线平移的规律“左加右减解析式．
自变量，上加下减常数项”，容易得出平移后的函数
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