傅立叶变换光学

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

如对于周期函数g(x)，其空间周期为L，取其在一个周期，即(?L/2,L/2)间的一段，

展开为

~ei2πnfx=g(x)=g0+∑gn

n≠0

~ei2πnfx，f=1，为基频。傅里叶系数为 g∑n

Ln=?∞

∞

~=1L/2g(x)e?i2πnfxdx。 gn

L∫?L/2fn=nf，相应有

g(x)=

??e∑Lg

n

∞

i2πnfx

∞

1∞i2πnfx

??ne??nei2πfnx?fn =∑Lg(fn+1?fn)=∑Lg

Ln=?∞n=?∞

n=?∞

如L=∞，上述求和化为积分，有

g(x)=

n=?∞

∑

∞

??nei2πfnx?fn=∫G(f)ei2πfnxdfn=∫G(f)ei2πfxdf Lg

?∞

?∞

∞∞

反变换，即Fourier系数为

??n=G(f)=Lg

∫

L/2?L/2

g(x)e

?i2πfx

dx=

∫

∞?∞

g(x)e?i2πfxdx

即有对于非周期性函数的傅里叶积分变换，或傅里叶变换。

?g(x)=∞G(f)ei2πfxdf

∫?∞?

?∞

?i2πfx

?G(f)=∫g(x)edx

?∞?

可见，非周期函数的频谱G(f)为连续谱。 例如，对于单缝衍射屏，其屏函数为g(x)=?

?A|x|

，作傅里叶变换，有

0|x|>a/2?

G(f)==

∫

a/2?a/2

Aexp(?i2πfx)dx

Aexp(?i2πfx)d(?i2πfx)=

A

[e?iπfa?eiπfa]

?i2πf

A?i2πf

∫

a/2?a/2

11

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

=A?i2sin(πfa)sinα，α=aAα?i2πf=πfa ??(x)=A，屏函数中A=1，透射波为 如果平面波正入射U11

??(x)=U??(x)g(x)=+∞aAsinαei2πfxdx=+∞aAsinπfaei2πfxdx U21∫?∞1α∫?∞1πfa

透射波中空间频率为f的部分，即方向为sinθ=

2πf

=fλ的成分，透射波为k

G(f)=aA1sinπfasinθ，将其中的空间频率f以方向表示，f=，则有πfaλsin(

G(f)=aA1πasinθλπa

sinθ)λ，即为单元衍射因子。 § 6.3 阿贝成像原理 一、阿贝成像原理的数学推导 用单色平行光照明近轴小物ABC，成像于ABC，对于成像过程，可以用几何光学的物像关系理解，也可以从频谱转换的角度解释。 ‘

’

‘

物可以看作是一系列不同空间频谱的集合。图示的相干成像分两步完成。第一步是物上的光发生夫琅和费衍射，在透镜的后焦平面上形成一系列的衍射斑。第二步是将各个衍射斑作为新的光源，其发出的各个球面次波在像平面上进行相干叠加，像是干涉的结果，即干涉场。这就是阿贝成像原理。 可以用数学方法说明。 设物为正弦光栅，其发出的光波为UO(x,y)=A1(t0+t1cos2πfx)，为三列平面波。 三列平面衍射波在透镜的像方焦平面上形成三个衍射斑S+1，S0，S?1，就是三个点光 12~

崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

源。

三个衍射斑作为三个点光源，发出的球面波在像平面上进行相干叠加。在像平面上，应用衍射积分公式，其瞳函数振幅为分别为A±1∝A1t1/2，A0∝A1t0，初位相分别为

?(θ)=kL0(θ)，L0(θ)为光栅（物）中心到衍射场点、即焦平面上衍射斑点的光程。分别

表示为BS±1和BS0，则三个次波光源的复振幅可写为

??∝1Atexp[ik(BS+1)]，U??∝Atexp[ik(BS0)]，U??∝1Atexp[ik(BS?1)]。 U+111?111010

22

在像平面（x’,y’）的复振幅可以按如下方法求得

对于轴上物点S0，在像平面的复振幅为

22′′xy+??(x′,y′)∝U??exp[ik(SB′)]exp[ik] U000

2z

x′2+y′2

] ∝A1t0exp[ik(BS0B′)]exp[ik

2z

′1,0)，其相因子中， 对于轴外物点S±1，由于(x,y)≈(zsinθ±

?ik

x′x0+y′y0x

′1x′，所以有=?ik±1x′=?iksinθ±

zz

22

′′x′x0+y′y0+xy??(x′,y′)∝U??exp[ik(SB′)]exp[ik]exp[] ?Uik±1±1±1

2zz

x′2+y′2

??′1)x′] =U±1exp[ik(S±1B′)]exp[ik]exp[?ik(sinθ±

2z

1x′2+y′2q′1)x′] ∝A1t1exp[ik(BS±1B′)]exp[ik]exp[?ik(sinθ±22z

q′由于物像之间的等光程性，(BS0B′)=(BS±1B)，可以把前两个位相因子合写作

22

′′x′2+y′2xy+q′?(x′,y′)，即?(x′,y′)=k(BS0B′)+k =k(BS±1B)+k

2z2z

三列波在像平面上相干叠加的干涉场为

~~~~

UI(x′,y′)=U0(x′,y′)+U+1(x′,y′)+U?1(x′,y′)

=A1exp[?(x′,y′)]{t0+根据阿贝正弦条件

t1

′1x′)+exp(?iksinθ?′1x′)]} [exp(ik(sinθ+

2

′1sinθ±y1==，V为像的横向放大率，于是有

′sinθ±1yV

′1x′=ksinθ±1x′/V，而 ′1=sinθ±1/V，即ksinθ±sinθ±

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崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

ksinθ±1=

2πλ(±fλ)=±2πf，代入UI的表达式，有

??(x′,y′)∝Aei?(x′,y′)[t+tcos(2πfx′)] UI101

V

~

而物光波为UO(x,y)=A1(t0+t1cos2πfx)

两者除相因子?(x′,y′)之外，有相似的表达式。而相因子在强度表达式中不出现。故像与物有相同的光强分布。即物像之间是相似的。此外，有两点需要说明。

（1） 物的空间频率为f，而像的空间频率为f/V，或空间周期由d变为Vd，表示像

的几何放大或缩小，不影响像的质量。

（2） 像质的反衬度可以通过交流部分与直流部分的比值体现，对于物像，都有

γO=γI=

γt1

，即I=1，即像的反衬度没有下降。 t0γO

对于任意的物，都可以通过Fourier变换，使之成为一系列正弦光栅的和，所以上述证

明具有普遍的意义。

二、阿贝成像原理的实验验证

1、 关于空间滤波：

11

sinθ±=±fλ=±λ，f=，衍射屏或物的空间频率。

dd

空间频率与波的衍射角相关，所以可以据此做成低通、高通或带通的滤波装置。

对于正弦光栅，仅有0，±1级，而对于其它类型的周期或非周期的光栅，则存在一系

列的分立或连续的空间频率。每一个频率都有相对应的衍射角，不同频率的波将会汇聚到透镜的像方焦平面，即傅氏面上。

则在傅氏面上采用不同的装置可以起到空间滤波的效果。可以有低通、带通或高通的滤波器。

实际的物包含各种信息，即具有各种从低到高的空间频率，但透镜的口径总是有限的，所以会滤掉一些高频信息。但有时，需要对图像进行改造，这就要采取一些措施，进行滤波。

2、 阿贝（Abbe，1874年）—波特（Porter，1906年）空间滤波实验

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崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学

在傅氏面上加一可调狭缝，观察像的变化。以黑白光栅为物。

（1） 只让0级，即直流成分通过，则像平面被0级斑发出的球面波照明。近轴

条件下，被均匀照明。

（2） 让0级和±1级通过，则像平面上是0和±1三个衍射斑发出的次波的相干

叠加。在像平面上，它们的复振幅可表示为

x2+y2x2+y2xx±1+yy±1

?exp[ik]和exp[ik(]

z2z2z

即有

x2+y2xx+yy+1xx+yy?1~

UI(x,y)=exp[ik]{a0+a1[exp(?ik+1)+exp(?ik?1)]}

zz2z

由于x+1和x-1的对称性以及在y方向上都是相同的，故可取y=0，上式变为

x2xxxx~

UI(x,y)=exp[ik]{a0+a1[exp(?ik1)+exp(ik1)]}

zz2z

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