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2011级概率统计期中统考试卷答案

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厦门大学《概率统计A》课程期中试卷 ____学院____系____年级____专业 主考教师: 试卷类型:(A卷) 答题说明:

理工类学生从前九个题中选八个题答

旅游、企管、财务系学生答七、八题以外的八个题。

以下解题过程需要用到以下数据:(?(1.667)?0.95,?(0.84)?0.8)

一、(15分) 抓阄问题的公平性问题

抓阄是在机会稀缺时人们公平获得机会的常用方法,假定n个人抓阄,n个阄中只有一个 阄是“中奖”的,其它都不中奖,常见的抓阄方式有: (1)同时开阄:抓阄时每个人先按任意顺序抓一个阄,全部抓完后,再同时将n个阄打开看,

看其是否中奖; (2)即时开阄:n个人按任意顺序依次抓阄,每个人抓完阄后立即打开看,当某个人抓到“中

奖阄”时,整个抓阄过程就结束了。

试问这两种抓阄方式都公平吗?(讨论每个人抓到“中奖阄”的概率)。 解:令Ak表示“第k个人抓到了中奖阄”事件,1?k?n

(1)以“同时开阄”的形式抓阄,第k(1?k?n)个人抓到“中奖阄”的概率为P(Ak) 则由古典概率的算法, P(Ak)?(n?1)!?11,此概率不依赖于k,与k无关,所以“同时

?n!n开阄”这种方式可以认为是公平的;

(2)以“即时开阄”的形式抓阄。 解法1:利用古典概率的算法:

将n个阄编号,不妨假设1号阄是“中奖阄”,现在仅考虑第k个人抓到的阄号。令?1表示第k个抓阄的人抓到了1号阄,?2表示第k个抓阄的人抓到了2号阄,?,

?n表示第k个抓阄的人抓到了n号阄,所以本问题的样本空间为??{?1,?2,??n},显然其

中的每个基本事件发生都是等可能的,所以依照古典概率的算法有:P(Ak)?此概率也与k无关,所以“即时开阄”也应该是公平的。

1,1?k?n。n 1

解法2:显然第一人抓到“中奖阄”的概率为P(A1)?1, n由于A2?A1,A2?A1?A2,则第二人抓到“中奖阄”的概率为

n?111

P(A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???nn?1n同理由于 AK?A1A2?Ak?1 ,第k(1?k?n)个人抓到“中奖阄”的概率P(Ak)为

P(Ak)?P(A1A2?Ak?1AK)?P(A1A2?Ak?1)P(Ak|A1A2?Ak?1)

?P(A1)P(A2|A1)?P(Ak?1|A1A2?Ak?2)P(Ak|A1A2?Ak?1)

?n?1n?2n?311???? nn?1n?2n?k?1n此概率也与k无关,所以“即时开阄”也应该是公平的。

另外由全概率公式和数学归纳法也可以讨论此问题。(略) 二、(15分)在有50人参加的登山活动中,假设每个人意外受伤的概率是1%,每个人是否意外受伤是相互独立的。(1)计算没有人意外受伤的概率;(2)计算至少有一个人意外受伤的概率;(3)为保证不发生意外的概率大于90%,应当如何控制参加人数? 解:用Ajj?1,2,?,50表示第j个人没有意外受伤,则A1,A2,?,A50相互独立,依题意有

P(Aj)?1?0.1?0.99.

(1) B??Aj表示没有人意外受伤,P(B)?P(?Aj)?0.9950?0.605;

j?1j?15050(2)B表示至少有一人意外受伤,P(B)?1?P(B)?0.395; (3)假设控制参加登山的人数为m人可以满足要求,则有

mmP(?Aj)??P(Aj)?0.99m?0.90

j?1j?1取对数后得到mln0.99?ln0.9,于是解出m?ln0.9?10.48,

ln0.99所以控制参加登山的人数在10人之内,便能保证不发生意外的概率大于90%。 三、(10分)某学生在毕业时向两个相互无关的用人单位递交了求职信,根据经验,他被第一个单位录用的概率为0.4,被第二个单位录用的概率是0.5,。现在知道他至少被某个单位录用了,计算他也被另一单位录用的概率。

解:用A1,A2分别表示他被第1单位和第2个单位录用这两个事件,则依题意,A1,A2独立,

2

且P(A1)?0.4,P(A2)?0.5。已知此学生被某个单位录用,等价于事件发生, “A1?A2”则所求的概率为条件概率P(A1A2|A1?A2),于是有

P(A1A2|A1?A2)??P(A1A2)P(A1)P(A2) ?P(A1?A2)P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)0.4?0.52?

0.4?0.5?0.4?0.57四、(10分)科学技术发展到今天,任何国家的导弹发射基地都不能躲过敌方的侦察。为了有效地保存自己的导弹发射装置,大多都采用了构建真假导弹发射井的方法。假设A国的100个发射井中有10个发射井是发射导弹的真井,另外90个是假井。在对A国的第一波精确打击中,至少要摧毁多少个发射井,才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

解:假设至少要摧毁n个发射井,才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

观察查验每口被摧毁的发射井是否是真井,我们把它当做一次试验,在此试验中,若是真井就相当于“成功”事件发生,若是假井就算“失败”事件发生。

用X表示在第一波精确打击中,被摧毁的这n个井中的真井的个数,则X~b(n,0.1),依题意有P(X?10)?90%

10于是 P(X?10)?Cn(0.1)10(0.9)n?10?90% (若得出此式,就得满分)

验算得n=99,满足要求,即至少要摧毁99个发射井,才能以90%的概率保证对方的真井全被摧毁。

五、(15分)设随机变量X服从正态分布N(2,?2),且P(2?求(1)P(X(2)?. ?0);

X?4)?0.3,

解:(1)由正态分布密度函数的对称性(关于x=2直线对称)知,P(X?4)?P(X?0),

P(0?X?2)?P(2?X?4), 由P(X?0)?P(X?4)?P(0?X?4)?1,

得 2P(X?0)?2P(2?X?4)?1

?0)?1?2P(2?X?4)?1?2?0.3?0.4,故P(X?0)?0.2.

X?2所以 2P(X(2)由 0.2?P(X?0)?P(???2?)??(?2?)?1??(2?),得 ?(2?)?0.8,

2?即 ???0.84,2?2.38。 0.84 3

??e??x x?0六、(10分)设X服从参数为?指数分布,其密度函数为f(x)??,求

?0 其它 X?1?X,当Y??2

X, 当X<1?的概率密度函数

fY(y).

解:设FY(y)表示随机变量Y的分布函数 当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?0;

y?1时,FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?当0?y)

?P(0?X?y)??0?e??xdx

当yY?1时,FY(y)?P(Y?y)?P(Y?1)?P(1?Y?y)?P(Y?1)??1?e??xdx

y?00?y?1。 y?1y?0??y??e?所以f(y)?F?(y)??YYy?2??y???e七、(15分)设一部手机在时间段[0,t]内收到的短信数服从泊松分布P(?),其中???t,?是正数。每个短信是否是广告短信与其到达的时间独立,也与其它短信是否是广告短信独立。如果每个短信是广告短信的概率p?0,(1)已知[0,t]内收到了n个短信,求其中广告短信数的概率分布;(2)计算[0,t]内收到的广告短信数的概率分布;(3)证明在[0,t]内到达的广告短

信数和非广告短信数相互独立。

解:(1)设在[0,t]内收到的短信数是Y,收到的广告数是X,依题意Y~P(?),每收到一个短信相当于作一次试验,遇到广告是试验成功,收到其它短信算失败。若在[0,t]内收到n个短信,相当于作了n次独立试验,每次试验成功的概率是p,根据二项分布知道,其中收到的广告数X的概率分布是

hk?P(X?k|Y?n)?Cnp(1?p)kkn?k,0?k?n

(2)由于{Y?j},j?0,1,?是完备事件组,所以由全概率公式得到X的概率分布

??P(X?k)??P(Y?n)P(X?k|Y?n)??n?kn?k?nn!e??Cnkpk(1?p)n?k

[?(1?p)]n?k??(?p)k???[?(1?p)]jk ??e(?p)?e?n?kj?0k!(n?k)!k!j!? 4

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