2019年全国卷Ⅰ理数高考试题(含答案)

uuuuruuuur，A1N?(?1,0,?2)MN?(0,?3,0)．

uuuur??m?A1M?0m?(x,y,z)uuur设为平面A1MA的法向量，则?，

??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．uuuur??n?MN?0， r设n?(p,q,r)为平面A1MN的法向量，则?uuuu??n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为

19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?3?12(t?1)?y?x?t22由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则x1?x2??． 292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 92837x?． 28所以l的方程为y?uuuruuur（2）由AP?3PB可得y1??3y2．

3?y?x?t?2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3．

代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,设为?.

?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有唯一零点，

22?2??则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，

2??2?????即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.

2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).

（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.

??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，

22?????????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,??2??2??2????时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减.

?2?????????????

又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在?0,?

?2??2??2??2?

没有零点.

??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而

?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.

?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.

P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1.

因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即

pi?1?pi?4?pi?pi?1?.

又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,L,7)为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得

48?1p8 ?p8?p7?p7?p6?L?p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??L??p1?p0??p1 .

3由于p8=1，故p1?3，所以 84?144?11p4 ??p4?p3???p3?p2???p2?p1???p1?p0??p1 ?.

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?常小，说明这种试验方案合理.

21?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为222?21?t?2??1?t??1?t?221?0.0039，此时得出错误结论的概率非257y2x??1(x??1).

42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.

?x?cos?,（?为参数，?π???π）.

?y?2sin?（2）由（1）可设C的参数方程为?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为.

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