第十一章 三角形 知识点整理
1、三角形的边
(1)三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 (2)三角形第三边的取值范围： |另两边之差| < 第三边 < 另两边之和 2、三角形的高、中线、角平分线
（1） △的高、△的中线、△的角平分线都是线段 （2） 交点情况
a.锐角三角形三条高的交点位于△的内部；直角三角形三条高的交点位于直角三角形的直角顶点；钝角三角形三条高所在的直线的交点位于三角形的外部。
b.△的三条中线的交点位于△的内部。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。
c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的内部。 3、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°
4、三角形的外角性质：1、三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和； 2、三角形的外角大于和它不相邻的任意一个内角。 5、三角形的三个外角和等于360°
6、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 7、直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 8、n边形的内角和等于（n-2）×180°
9、从n边形的一个顶点出发，有（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形总共有对角线，。
10.多边形的外角和等于360° 11、三角形的分类
n(n?3)条2??1不等边三角形（三角形三条边都不相等）??（腰?底） ?等边三角形a.按边分： 三角形 ???2等腰三角形??腰和底不相等的等腰三角形??b.按角分：（1）锐角三角形（三个角都是锐角）； （2）直角三角形（有一个角为直角）； （3）钝角三角形（有一个角为钝角）。
第十二章 全等三角形 知识点小结
一、本章的基本知识点
全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 全等三角形的判定方法：
一般三角形的判定方法：边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）
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直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL） 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB．
角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
证明文字命题的一般步骤：证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。 二、本章应注意的问题 1、全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记；
②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 2、全等三角形的证明思路：
??找夹角（SAS）???已知两边?找直角（HL）?找第三边（SSS）?????若边为角的对边，则找任意角（AAS）?B ???找已知角的另一边（SAS）? ?已知一边一角??边为角的邻边找已知边的对角（AAS）????找夹已知边的另一角（ASA）??????A D ??找两角的夹边（ASA）?已知两角???找任意一边（AAS）?第二要
A
变形 D B C
A 变形 C D B A D E
C
A 变
C
B E D
A E F A 变
B
C D
3、全等三角形证明中常见图形：
B E C
F B
变形
E G F
B A D 变形 D D A C
E
C B C 2
4、全等三角形证明时特殊的辅助线：
在本章中，作辅助线的目的就是为了构造全等三角形，有几种特殊的辅助线需要注意：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形． 三、全等三角形习题精选 一、五大判定定理记忆与应用 1．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等 2.下列说法正确的是 （ ）
A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3.如图 , 在∠AOB的两边上，AO=BO , 在AO和BO上截取CO=DO , 连结AD和BC交于点P , 则△AOD≌△BOC理由是（ ） A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS 4.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等 2.重点图形的识 1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE，BC=DB。
2. 如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，求证：CE=DE
3. 如图：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D。求证：BD=DC。
3.重点证明过程的书写 1.如图，AE=AC， AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证： ED＝CA．
2. 如图，已知AB=AD，AC平分∠DAB，求证：?EBC??EDC。
A
B E C D BEADEA1234CBDE1CA2BDC 3
3.已知：如图, FB=CE , AB∥ED , AC∥FD, F、C在直线BE上．求证：AB=DE , AC=DF． D EC
AB第十三章 轴对称知识点 （一）轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
?那么就
说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称． 联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 （三）线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．
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（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合． （四）用坐标表示轴对称
1、 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； 2、 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）； 3、 点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。 关于谁谁不变，关于原点都相反. (五)关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）； 点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）； (六）等腰三角形 1、 等腰三角形性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）2、 等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）(七) 等边三角形
定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 1、 性质和判定：
（1） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60o。 （2） 三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3） 有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。
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（4） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （八）其他结论
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
作图题专练
1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等． A ·C ·D
O B
2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小； 作法：
（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大． 作法：
（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．
（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题．
变式练习
1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN ．
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2．如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；
3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．
4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；
5、已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．
6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什
么地方，才能使从A到B所走的路线最短？
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