_学年高中数学第1章计数原理5二项式定理第2课时二项式系数的性质

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1 2016-2017学年高中数学 第1章 计数原理 5 二项式定理 第2课时

二项式系数的性质课后演练提升 北师大版选修2-3

一、选择题

1．(1－x )4(1－x )3的展开式中x 2

的系数是( )

A ．－6

B ．－3

C ．0

D ．3 解析： (1－x )4(1－x )3＝(1－4x ＋6x 2－4x 3＋x 4)·(1－3x 12＋3x －x 32

)，所以x 2的系数是－12＋6＝－6.

答案： A

2．若(x 3＋1x 2)n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则不含x 的项等于( ) A ．210

B ．120

C ．461

D ．416

解析： 由已知得第6项应为中间项，则n ＝10.

T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·(1

x 2)r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.

∴T 6＋1＝C 6

10＝210.

答案： A 3．若二项式? ??

??x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为( ) A ．－240

B ．－160

C ．160

D ．240 解析： 由题意2n ＝64，即n ＝6，设T r ＋1为常数项．

则T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·? ??

??－2x r ＝(－2)r C r 6x 12－2r －r ， 令12－3r ＝0，即r ＝4， 所以常数项为(－2)4·C 46＝16×15＝240，故选D ．

答案： D

4．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的项是( )

A ．第4项

B ．第4、5两项

C ．第5项

D ．第3、4两项 解析： (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系

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2 数最大；

当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大．而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．

答案： B

二、填空题

5．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为____________.

1

3 3

5 6 5

7 11 11 7

9 18 22 18 9

…

解析： 观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1.

答案： 2n －1

6．在(1＋x )9的展开式中，系数最大的项的系数是____________.

解析： 因二项展开式共有10项，所以中间两项的二项式系数最大且相等，又由于x 的系数为1.所以系数最大的项的系数为C 49或C 59，都等于126.

答案： 126

三、解答题

7．已知? ??

??x －2x 2n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式的常数项．

解析： 依题意C 4n ∶C 2n ＝14∶3?3C 4n ＝14C 2

n

∴3n n －1 n －2 n －3 4！＝14n n －1 2！ ?n ＝10.

设第r ＋1项为常数项，

又T r ＋1＝C r 10(x )

10－r ? ????－2x 2r ＝(－2)r C r 10x 10－5r 2， 令10－5r 2

＝0?r ＝2， ∴T 2＋1＝C 210(－2)2＝180.

因此所求常数项为180.

8．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2

＋a 4x ＋a 5.

(1)求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；

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3 (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|；

(3)求a 1＋a 3＋a 5.

解析： (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(2×1－1)5

＝1.

(2)由二项式定理，得(2x －1)5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4(－1)＋C 25(2x )3(－1)2＋C 35(2x )2(－1)3＋C 45(2x )(－1)4＋C 55(－1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 4＋a 4x ＋a 5.

对比系数可知，a 1，a 3，a 5为负数．

∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，

又在二项展开式中令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5)．

∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－(－35)＝35

＝243.

(3)令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，①

令x ＝－1得－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－35②

①＋②得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35，

∴a 1＋a 3＋a 5＝1－352

＝－121. 尖子生题库 ☆☆☆

9．设m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n ，已知在f (x )展开式中，x 的系数为19.

(1)当m ，n 为何值时，x 2的系数最小？

(2)当x 2的系数最小时，求x 7的系数．

解析： (1)f (x )展开式中，x 的系数为C 1m ＋C 1n ＝m ＋n ＝19，

即m ＋n ＝19.

而x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12

[m (m －1)＋n (n －1)] ＝12[m 2＋n 2－(m ＋n )]＝12

[(m ＋n )2－2mn －(m ＋n )] ＝12

(361－2mn －19)＝171－mn ， 将m ＝19－n 代入，

可得C 2m ＋C 2n ＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋171－3614

. 由于n 是正整数，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2的系数C 2m ＋C 2n 取最小值81此时m ＝10，n ＝9或m ＝9，n ＝10.

(2)由(1)知，n ＝9且m ＝10或n ＝10且m ＝9，此时f (x )均为f (x )＝(1＋x )9＋(1＋x )10＝(1＋x )9(2＋x )，

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