相似三角形常见模型(总结)

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第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

B（平行）

（不平行）

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）（平行）

（不平行）

（三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

C D

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展

C B E

D A 共享性G B E

一线三等角的变形一线三直角的变形

第二部分相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2

．

例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．

求证：（1）DA DE DB ?=2；（2）DAC DCE ∠=∠．

A C D E B

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于

D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于

E 、

F ．

求证：EG EF BE ?=2

．

相关练习：

1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2

．

2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·

4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC

⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=?

GBM90

5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交

边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

B P

D E

（第25题图）

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，

DE=62，求：点B到直线AC的距离。

D C

共享型相似三角形

1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=?120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．

求证：（1）△ABE ∽△ACD ；（2）CD BE BC ?=22．

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°

（1）求证：△BDE ∽△CFD

（2）当BD =1，FC =3时，求BE

C A

D B

E F

例2：（1）在ABC ?中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；

②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD 的边长为5（如下图），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持?=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.

例3：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．

（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．

①求证；△ABP ∽△DPC

A B C 备用图 A B C D A B C D A

B C P Q

A B C 备用图 A B C

D C

②求AP 的长．

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE ＝1时，写出AP 的长． C

B A D

C B A D

例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．

（1）求证：△MEF ∽△BEM ；

（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；

（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．