全国高考数学试题综合1

2011（北京理卷）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是 A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．复数

i?2? 1?2i4343?i D．??i 5555A．i B．-i C．?3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是

A．(1,?2) B．(1,??2)

C． (1,0) D．(1，?)

4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A．-3

1 21C．

3B．-

D．2

5．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F， 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论： ①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

???6．据统计，一名工作组装第x件某产品所用的时间（单位：分）为 f(x)?????cxcA,x?A,（A，

,x?AC常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是 A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中， 最大的是

A．8

B．62

C．10 D．82 8．设A?0,0?,B?4,0?，C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.记N?t?为平行四边形ABCD内部（不

含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N?t?的值域

为

A．?9,10,11? B．?9,10,12? C．?9,11,12? D．?10,11,12?

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．在?ABC中。若b=5，?B??4，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10．已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则

k=___________________。 11．在等比数列{an}中，a1=

1，a4=-4，则公比q=______________；2a1?a2?...?an?____________。

12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____个。（用数

字作答）

?2x?2?,13．已知f(x)??x若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值

?(x?1)3,x?2?范围是_______

14．曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F?2（1，0）的距离的积等于常数a(a?1)的点的轨迹.给出下列三个结论：所有正确结论的序号是

① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称； ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积大于

2

12a。 2三、解答题共6小题，共80分。

15．（13分）已知函数f(x)?4cosxsin(x??6)?1。

????,?上的最大值和最小值。 ?64?

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期：（Ⅱ）求f(x)在区间??

16．（ 14分）在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是菱形，

AB?2,?BAD?60?.

(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;（Ⅱ）若PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

17． （13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数

据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树

Y的分布列和数学期望。 （注：方差s?的平均数）

18．（ 13分）已知函数f(x)?(x?k)e。

（Ⅰ）求f(x)的单调区间（Ⅱ）若对于任意的x?(0,??)，都有f(x)≤值范围。

2xk22221?x1?x?x2?x???xn?x?，其中x为x1，x2，…… xn???n?

??????1，求k的取e

x219．（ 14分）已知椭圆G:?y2?1.过点（m,0）作圆x2?y2?1的切线I交椭圆G于

4A，B两点.

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.

20．（13分）若数列An?a1,a2,...,an(n?2)满足an?1?a1?1(k?1,2,...,n?1)，数列An为

E数列，记S(An)=a1?a2?...?an．

（Ⅰ）写出一个满足a1?as?0，且S(As)〉0的E数列An；

（Ⅱ）若a1?12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S?An?=0？

如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。

参考答案

一、（1）C （2）A （3）B （4）D（5）A （6）D （7）C （8）C 二、（9）

255210 （10）1（11）—2 2n?1?1 （12）14（13）（0，1）（14）2②③

三、（15）解：（Ⅰ）因为f(x)?4cosxsin(x?

?6)?1?4cosx(31sinx?cosx)?1 22?3sin2x?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?为?

?6)所以最小正周期

（Ⅱ）因为??6?x??4,所以??6?2x??6?2?. 3 于是，当2x??6??2,即x??6时，f(x)取得最大值2；

当2x???6???6,即x??6时,f(x)取得最小值—1. （16）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

P（0，—3，2），A（0，—3，0），B（1，0，0），C（0，3，0）. 所以PB?(1,3,?2),AC?(0,23,0).设PB与AC所成角为?，则

cos?PB?AC66|PB|?|AC|?22?23?4. （Ⅲ）由（Ⅱ）知BC?(?1,3,0).设P（0，－3，t）（t>0），则

BP?(?1,?3,t)

设平面PBC的法向量m?(x,y,z),则BC?m?0,BP?m?0

所以????x?3y?0,令y?3,则6??x?3y?tz?0x?3,z?.?t

所以m?(3,3,6t)同理，平面PDC的法向量n?(?3,3,6t)

平面PCB⊥平面PDC,所以m?n=0，即?6?36t2?0解得t?6所以PA=6

（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为x?8?8?9?104?354;

方差为s2?14[(8?354)2?(8?354)2?(9?354)2?(10?352114)]?16.

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组

同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以

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