北京市重点中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷

2014-2015学年北京市重点中学高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

2

1．（4分）已知全集U=R，集合P={x|x≤1}，那么?UP=（） A． （﹣∞，﹣1] B． D． 2．（4分）下列函数是偶函数的是（） A． y=x

3．（4分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（） A． f（x）=

4．（4分）若函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点，则定点的坐标为（） A． （1，0） B． （2，0） C． （1，1） D．（2，1）

5．（4分）已知函数 A． ﹣2

6．（4分）设α∈为（） A． ﹣1，1，3

7．（4分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（） A． B． C．

8．（4分）设a=0.3，b=2，c=log0.34，则（） A． b＜a＜c B． c＜b＜a C． b＜c＜a

9．（4分）已知函数上是增函数，若函数

在

在

B． （0，5）

2

0.3

（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

B． y=2x﹣3

2

C． y= D．y=x，x∈

2

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=e

2x

D．f（x）=ln（x+1）

，则f=（）

B． 2

C． 1

α

D．﹣1

，则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有α的值

B． ，1 C． ﹣1，3 D．1，3

D．

D．c＜a＜b

上是减函数，在

C． 是函数y=f（x）的一对“友好

点对”（点对与看作同一对“友好点对”）， 已知函数f（x）=

，则此函数的“友好点对”有（）

A． 0对 B． 1对 C． 2对 D．3对

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上） 11．（4分）

12．（4分）幂函数f（x）的图象过点（3，

），则f（x）的解析式是 =．

??． 13．（4分）用二分法求方程f（x）=0在区间（0，2）的近似根，f（1）=﹣2，f（1.5）=0.625，f（1.25）=﹣0.984，f（1.375）=﹣0.260，下一个求f（m），则m=． 14．（4分）我国2000年底的人口总数为M，要实现到2010年底我国人口总数不超过N（其中M＜N），则人口的年平均自然增长率p的最大值是．

15．（4分）已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围

是．

16．（4分）已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且f（）=2，则不等式f（2）＞2的解集为．

三、解答题：本大题有4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（8分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}． （1）求A∪B，（?RA）∩B； （2）若C?（A∪B），求a的取值范围．

18．（8分）已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）． （1）求函数f（x）﹣g（x）的定义域；

（2）求使函数f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．

19．（10分）已知函数

，且f（4）=3．

x

（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；

（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意实数x1，x2∈，有|f（x1）﹣f（x2）|≤t成立，求t的最小值．

20．（10分）某商品近一个月内（30天）预计日销量y=f（t）（件）与时间t（天）的关系如图1所示，单价y=g（t）（万元/件）与时间t（天）的函数关系如图2所示，（t为整数）

（1）试写出f（t）与g（t）的解析式； （2）求此商品日销售额的最大值？

2014-2015学年北京市重点中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1．（4分）已知全集U=R，集合P={x|x≤1}，那么?UP=（） A． （﹣∞，﹣1] B． D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

考点： 补集及其运算． 专题： 集合．

分析： 先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．

2

解答： 解：由集合P中的不等式x≤1，解得﹣1≤x≤1， 所以集合P=，由全集U=R，

得到CUP=（﹣∞，1）∪（1，+∞）． 故选D

点评： 此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题． 2．（4分）下列函数是偶函数的是（）

2

A． y=x B． y=2x﹣3

2

C． y= D．y=x，x∈

2

考点： 函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．

解答： 解：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数； 对于选项A，是奇函数；

对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数． 故选B．

点评： 本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．

3．（4分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（） A． f（x）=

B． f（x）=（x﹣1） C． f（x）=e

2

x

D．f（x）=ln（x+1）

考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 综合题．

分析： 根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．

解答： 解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）， ∴函数在（0，+∞）上是减函数；

A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；

2

B、由于f（x）=（x﹣1），由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数， 在（1，+∞）上是增函数，故B不对；

C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对； D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对； 故选A．

点评： 本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．

4．（4分）若函数f（x）=loga（x﹣1）（a＞0，a≠1）的图象恒过定点，则定点的坐标为（） A． （1，0） B． （2，0） C． （1，1） D．（2，1）

考点： 对数函数的图像与性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由loga1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标． 解答： 解：∵loga1=0，

∴当x﹣1=1，即x=2时，y=0，

则函数y=loga（x﹣1）的图象恒过定点 （2，0）． 故选：B．

点评： 本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1=0，属于基础题．

5．（4分）已知函数 A． ﹣2 B． 2

考点： 函数的值． 专题： 计算题．

，则f=（） C． 1

D．﹣1

分析： 本题考查的分段函数的函数值，由函数解析式，我们可以先计算f（﹣1）的值，再根据f（﹣1）的值或范围，代入相应的解析式求出最后的结果． 解答： 解：∵﹣1＜0， ∴f（﹣1）=2=，且＞0， ∴f=f（）=log2=﹣1

故选D．

点评： 本题考查分段函数求函数值，按照由内到外的顺序逐步求解．要确定好自变量的取值或范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值

6．（4分）设α∈为（） A． ﹣1，1，3

B． ，1

C． ﹣1，3

D．1，3

，则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有α的值

α

﹣1

考点： 幂函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 根据幂函数的性质，我们分别讨论a为﹣1，1，，3时，函数的定义域和奇偶性，然后分别和已知中的要求进行比照，即可得到答案．

解答： 解：当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；

α

当a=1时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足要求； 当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；

当a=3时，函数y=x的定义域为R且为奇函数，满足要求； 故选：D

点评： 本题考查的知识点是奇函数，函数的定义域及其求法，其中熟练掌握幂函数的性质，特别是定义域和奇偶性与指数a的关系，是解答本题的关键．

7．（4分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（） A． B． C． D．

考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题．

分析： 根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．

α

解答： 解：∵f（）=∴只有f（）?f（）＜0， ∴函数的零点在区间上． 故选C．

＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，

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