2016西城高三一模数学理科试题

北京市西城区2016年高三一模试卷

数 学（理科） 2016.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．设集合A?{x|x2?4x?0}，集合B?{n|n?2k?1,k?Z}，则A?B?（ ） （A）{?1,1}

（B）{1,3}

（C）{?3,?1}

??x?2?2cos?,??y?2sin?（D）{?3,?1,1,3}

(?为参数)，则曲线C

2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?是（ ）

（A）关于x轴对称的图形 （C）关于原点对称的图形

（B）关于y轴对称的图形 （D）关于直线y?x对称的图形

3. 如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） （A） y?x?f(x) （C）y?x2?f(x)

（B）y?xf(x) （D）y?x2f(x)

????????4. 在平面直角坐标系xOy中，向量OA＝(?1, 2)，OB＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三

角形，则（ ） （A）m??4 （C）m?1

（B）m??4 （D）m?R

开始 ,S 输入A5. 执行如图所示的程序框图，若输入的A,S分别为0, 1， 则输出的S?（ ） （A）4 （B）16 （C）27 （D）36

k?1 A?A?k k?k?2 S?S?A k≥4否 是 输出S 结束 第 1 页 共 14 页

16. 设x?(0,)，则“a?(??,0)”是“log1x?x?a”的（ ）

22 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7. 设函数f?x??Asin??x???（A，?，?是常数，A?0，??0），且函数f?x?的部分图象如图所示，则有（ ）

y 3π5π7π)?f()?f() 4363π7π5π （B）f(?)?f()?f()

4635π7π3π （C）f()?f()?f(?)

3645π3π7π （D）f()?f(?)?f()

346 （A）f(? O π12 5π6x 8. 如图，在棱长为a(a>0)的正四面体ABCD中，点B1,C1,D1分别在棱AB,AC,AD上，且

A1为DBCD内一点，平面B1C1D1//平面BCD，记三棱锥A1-B1C1D1的体积为V，设

对于函数V=f(x)，则（ ）

AD1=x，ADA B1 B C1 D

A1 C

D1

（A）当x=2时，函数f(x)取到最大值 31 （B）函数f(x)在(,1)上是减函数

2 （C）函数f(x)的图象关于直线x= （D）存在x0，使得f(x0)>1对称 21VA-BCD（其中VA-BCD为四面体ABCD的体积） 3

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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在复平面内，复数z1与z2对应的点关于虚轴对称，且z1??1?i，则10．已知等差数列{an}的公差d?0， a3??3，a2?a4?5，则

an?____；记{an}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为____.

z1?____. z2x211．若圆(x?2)?y?1与双曲线C：2?y2?1(a?0)的渐近

a222 正(主)视图

2 侧(左)视图

线相切，则a?_____；双曲线C的渐近线方程是____. 12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几

何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____.

俯视图

13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A, B, C三个项目的志愿者工作，因工

作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A, B项目，乙不能参加B, C项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）

14. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映

了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

s s A Bs C sD

（图1） （图2） 根据图1，有以下四个说法：

1 在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加； ○

2 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km； ○

3 大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ○

4 在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹. ○

其中，所有正确说法的序号是_____.

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三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设A?（Ⅰ）若a?7，求b的值；

16．（本小题满分13分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.

各

分数段人数

14 12 10 8 6 4 2 ? ? ? π，sinB?3sinC. 3（Ⅱ）求tanC的值.

? ? ? 体育成绩

O 45 55 65 75 85 95 （Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率；

[80,90)，[90,100]（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70,80)，

三组中，其中a，b，c?N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值.（结论不要求证明）

12222（注：s?[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]，其中x为数据x1,x2,?,xn的平均数）

n

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17．（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD是梯形，AD//BC，?BAD?90?，四边形CC1D1D为矩形，已知

AB?BC1，AD?4，AB?2，BC?1.

（Ⅰ）求证：BC1//平面ADD1；

（Ⅱ）若DD1?2，求平面AC1D1与平面ADD1所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）设P为线段C1D上的一个动点（端点除外），判断直线BC1与直线CP能否垂直？并说明理由.

A

B

18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?xex?aex?1，且f?(1)?e. （Ⅰ）求a的值及f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)?kx2?2(k?2)存在两不相等个正实数根x1,x2，证明：|x1?x2|?ln4． eD1

C1

D

C

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C：mx2?3my2?1(m?0)的长轴长为26，O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ）设点A(3,0)，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若|BA|?|BP|，求四边形OPAB面积的最小值.

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