大学物理一计算题

1、均匀带电细线ABCD弯成如图所示的形状，其线电荷密度为λ，试求圆心O处的电势。

解：

两段直线的电势为 V1?2半圆的电势为 V2?O点电势V??4??0a A

B

?4??0a · O

a C

D ln2

?，

?4??0(2ln2??)

2、有一半径为 a 的半圆环，左半截均匀带有负电

荷，电荷线密度为-λ，右半截均匀带有正电荷，电线密度为λ ，如图。试求：环心处 O 点的电场强度。

解：如图，在半圆周上取电荷元dq

dq??dl??ad?dE?14??0y _ _ _ _ _ + + y O a θ + + + x a θ x dqa2由对称性?E?Ex???dE10x??dEcos??2??0a

o ?dE??2?20?a2??cos?d???

O 3、一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在

它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O的电势。（以无穷远处为电势零点）

解：:以顶点O作坐标原点,圆锥轴线为X轴向下为正. 在任意位置x处取高度为d x的小圆环, 其面积为

dS?2?rdxcos??2?tan?cos?xdxθ R1 σ 其上电量为

dq??dS?2??tg?cos?xdx

R2 它在O点产生的电势为

dU?dq4??2???0

r?x22

?tan?cos?22xdx2?tan?dx2?0

4??0xtan??xU?总电势

?dU??2?0tan??x2x1dx??(R2?R1)2?0

4、已知一带电细杆，杆长为l，其线电荷密度

为λ = cx，其中c为常数。试求距杆右端距离为a的P点电势。

解：考虑杆上坐标为x的一小块dx

P O l a x dx在P点产生的电势为

4??0l?a?x4??0l?a?x

求上式的积分,得P点上的电势为

U?c4??0dU?1?dx?cxdx

?lxdxl?a?x0?c4??0[(l?a)ln(l?aa)?l] 5、有一半径为 a 的非均匀带电的半球面，电荷面密度为σ = σ0 cosθ，

Z θ o Z θ o σ0为恒量 。试求：球心处 O 点的电势。

解： 上取一圆环，ds?2??Rsin??Rd?

dq??ds??2??Rsin??Rd? dq圆环的电势　dU?

4??0R

?? ??Rcos?sin??d??0R?2??Rsin??Rd?2U??dU????20? 004??R2?4?000

6、有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为λ =λ0 cosθ，λ0为恒量 。试求：圆心处 O 点的电势。

解：

y

在半圆上取电荷元dU?dq4??0adq，O a θ x ，dq??dl??ad??U??dU????22?0cos?d?4??0??02??07、有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的

带电量为λ ， 试求：与板的边缘距离为b的一点P 处的电场强度 (已知电荷线密度为λ的无限长直线的电场强度为

E??2??0r)。

P

·

解： 如图，取宽为dx的窄条为研究对象，

? 视为无限长带电直线，电荷线密度为dx a 由无限长带电直线电场公式，有

?

dx adE? O 2??0(a?b?x)

整个带电薄板的电场强度

? dxa?a?ba E??dE???ln02?? (a?b?x)2??0ab0

8、有一瓦楞状直长均匀带电薄板，面电荷密度为σ，瓦楞的

a b P dE · x dx a b X 半径为 a ，试求：轴线中部一点P 处的电场强度。(已知电线密度为λ的无限长直线的电场强度为E?解：

如图，顶视图，取宽为带电直线，电荷线密度dE?Ex????＝0Ey????????圆荷

a ?2??0r)

限长dl的窄条为对象，视为无为???dl??ad?P P ·. L ?d?2??0?dE2??x???dEcos?cos? ?d?00y a θ ?dE2??y???dEsin?sin? ?d?0o ?dE0x ???0

9、电荷以相同的面密度σ分布在半径分别为R1 =10 cm和R2 = 20 cm两个同心球

面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为V0 = 300 V。 （1）求电荷面密度σ；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上的电荷面密度σ’应为多少？（ εo = 8.85×10-12 C2N-1m-2） 解：（1）

U10?q14??R1U20?q24??R2?2

q14??R1?

??(R1?R2)U0?U10?U20?q24??R2?9

??U0?(R1?R2)?8.85?10c/m（2） 0

10、如图，长直圆柱面半径 为R，单位长度带电为λ，试用高斯定理

计算圆柱面内外的电场强度。

解：?R ???E?ds??q?0i

??E?0 E? (0?r?R )

(R?r??)

?2??r

11、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点位

于AB的延长线上，且与B相距为d，求P点的电场强度。

解： 1?dxdE? 24??x

?dxQ11 E??(?)2? 4??x4??ldd?l

12、电荷Q均匀分布在长为l的细杆AB上，P点

A

l B

d P

A

l B

d P

位于AB的延长线上，且与B相距为d，求P点的电势。

解： Q dq

dq?ldxdU?4??0xd?ldU??d?ldq4??0xd?Q4??0lln13、电荷Q均匀分布在半径为R的半圆周上，求曲率中心O处

的电场强度。

解：如图，在圆周上取电荷元dq

QQdq??dl?Rd??d? ?R?1dqdE?24??0R由对称性，E?Ex??Q R O y

Ey?0xQ θ R O ?dE?dEQ0??dEcos???4??Q221dq0R2 cos?x ＝?2??214???R2cos? d? ＝2??0R

14、用细的绝缘棒弯成半径为R的圆弧,该圆弧对圆心所张的

角为2α ，总电荷q沿棒均匀分布,求圆心处的电场强度。

解：如图，在圆弧上取电荷元dq

qqdq??dl?Rd??d? R2?2?1dqdE?24??0R由对称性，E?Ex?＝??R ??O y

R Ey?0x?dEq0??dEcos?cos? d? ＝??4??q21dq0?dER2 cos?14????O θ x ??2R?24??0R?sin? 15、求均匀带电圆环轴线上任一点P处的电场强度（圆环半径为R，带电量为Q）

解： 1dq在圆环上任取电荷元dq，则dE? ， 224??0R?x

由对称性知， ?dE??0 1dqx1Qx?E?Ex??dEx??? 22223/2224??R?x4??(R?x)R?x00

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