第八、九章 热力学基础 气体动理论 南京大学出版社 习题解答

第八章 气体动理论

8-6 目前，真空设备内部的压强可达1.01?10?10Pa，在此压强下温度为27℃时1m3体积中有多少个气体分子?

解：由 p?nKT得

p1?01?10?1010?3n???2?45?10(m) ?23KT1?38?10?300

8-7 每秒有1023个氧分子以500m·s-1的速度沿与器壁法线成45o角的方向撞在面积为2?10?4m2的器壁上，问这群分子作用在器壁上的压强为多大?

解：每个分子对器壁碰撞时，对器壁的作用冲量为 f?t?2mvcos450 每秒内全部N个分子对器壁的作用冲量，即冲力为

F?N?2mvcos450

根据压强定义式得：

FN2mvcos450p===SS1023创232创10-3500?cos450= 23-46状0210创210=1状88104(Pa)

8-8 有N个粒子，其速率分布函数为 f(v)?dN?C （0v0） （1） 画出该粒子的速率分布曲线 （2） 由v0求出常量C （3） 求粒子的平均速率

f(v) C 1

O vo 图2-2

v 解: （1）粒子的速率分布曲线如图2-2所示 （2） 由于?f(v)dv??Cdv?Cv0

001v0由分布函数的归一化条件

?f?v?dv?1，得

0?Cv0?1

则

C?（3） 粒子平均速率为

1 v0v??vf(v)dv??v00?V0v1dv?0 v02

8-9 某些行星的温度可达到1.0?108K，这是发生核聚变（热核反应）所需的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成。试求：（1）质子的平均动能；（2）质子的方均根速率。（大量质子可视为由质点组成的理想气体） 解（1）将质子视为理想气体，

??kT??1.38?10?23?1?108?2.07?10?15(J)

（2）质子的方均根速率为：

3232v?

23RT3?8.31?1?108??1.58?106(m/s) ?3?1?108-10. 储有氧气的容器以速度v?100m/s运动，假设该容器突然停止，全部定向运动的动能都变为气体分子热运动的动能，容器中氧气的温度将会上升多少？ 解： 容器作匀速运动，由于体积和压强不变，所以容器内的温度不变。

氧气的内能U?M5，其中M为容器内氧气的质量， Mmol为RT（双原子分子）

Mmol2氧气分子的摩尔质量。

Mmolv21M52R?T，?T?根据题意：?U?Mv，?U?

25RMmol22

32?10?3(100)2，T?7.7K 容器中氧气的温度变化: ?T?5?8.31

8-11 CO2气体的范德瓦耳斯常量a?0.37Pa?m2?mol?2，b?4.3?10?5m3?mol?1，0 0C时其摩尔体积为6.0?10-4m3?mol?1，计算其压强。如果将其当成理想气体，压强又为多少？

解（1）由范德瓦耳斯方程(p?a)(V?b)?RT解得： V2RTap??2

V?bV代入数据得：

RTa?2V?bV8.31?2730.37?? ?4?5?426.0?10?4.3?10(6.0?10)p??3.06?106Pa（2）若将气体当成理想气体，由pV?RT可得：

RT8.31?273??3.78?106Pa ?4V6.0?10*8-11. 容器容积为20 L，其中装有1.1kg的 CO2气体，温度为13?C，试用范德瓦耳斯

p?方程求气体压强（取a=3.64?105 Pa·l2·mol-2，b=0.0427 l/mol， 并用理想气体状态方程求出结果作比较。这时CO2气体的内压强多大？

? CO2的摩尔质量：CO2气体的摩尔数：MCO2?4.4?10?2kg/mol，??根据范德瓦耳斯方程：(p??2a)(V??b)??RT 2VM??25mol ，MCO25?RT25?8.31?2862a23.64?106??气体压强：p?，p??25?2.58?10Pa 2?32(V??b)V(20?1.1)?1020由理想气体状态方程：p'V??RT，p'??RTV，p'?25?8.31?286?2.97?106Pa， ?320?10分子的理想气体模型，忽略了分子本身占有的体积，导致了p'?p 此时CO2气体的内压强：pi??2a，pi?0.57?106Pa 2V3

8-13一个长为L、半径R1?2cm的蒸汽导管，外面包围一层厚度2cm的绝热材料（其热导率?＝0.1 W·m-1·K-1）。蒸汽的温度为100℃，绝热层外表面的温度为20℃。单位时间单位长度传出的热量是多少？

解：如图2-3所示，设蒸汽导管的半径为R1，绝热层的外半径为R2。在绝缘层中取内半径为r、外半径为r+dr的薄层，由热传导定律

?Q?T????S ?t?x可知，单位时间内通过此薄层的热量为

dQdT????2?rL dtdrR1 r dr 由于绝缘层内外温度恒定，所以在稳态条件下，dQ/dt是常数。将上式移项并积分得

L R2 dQT2R2dr ?dT??Ldt?

T1R2??1r

dQRT2?T1??Ldtln2

2??R1图2-3

于是，单位时间内单位长度的绝缘层传出的热量为

q?dQ2??(T1?T2)?

R2LdtlnR12??0.1?(100?20)4ln 2?71.8(W?m-1)?

*8-13. 一长为L，半径R1=2cm的蒸汽导管，外面包着一层厚度为2cm的绝热材料，导热系数为k=0.1w/mK，蒸汽的温度为100?C，绝热外套表面温度为20?C，保持恒定。 (1) 试问绝热材料柱层中不同半径处的温度梯度

4

dT是否相同？ dr(2) 单位时间单位长度传出的热量是多少？

? 在蒸汽导管外面的绝热材料选取长度为l，半径为r和r’ 的两个圆柱面，单位时间内穿过两个

圆柱面的热量相等。 根据Q????(SdTdT为常数。 )dS，对于给定的圆柱面上，drdr所以，Qr????(SrdTdTdT)r(2?rl)，Qr'???()r'(2?r'l) )rdS，Qr???(drdrdr??(dTdTdTdT)r(2?rl)???()r'(2?r'l)，()rr?()r'r' drdrdrdrdTdT)r?()r' drdr所以绝热材料柱层中不同半径处的温度梯度不相同，即(在单位时间里，从长度为L传出的热量：

Q????(SdTdTdT)2?Lr（在半径为r的圆柱面上为常数） )dS，Q???(drdrdrRT22QQdr??2?L?dT，两边积分：?dr??2?L??dT，因为穿过任一圆柱面的热量rrR1T1相等，

所以：QlnR2??2?L?(T2?T1) R22??(T2?T1)Q??

RLln2R2单位时间单位长度传出的热量：Q'?Q'??2?3.14?0.1(293?373)，Q'?72.3J

2?2ln2

第九章热力学基础

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