2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标） (2)

?该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比

70值的估计值为：?0.7．故选：C．

100【归纳与总结】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．函数f(x)?2sinx?sin2x在[0，2?]的零点个数为( ) A．2

B．3

C．4

D．5

【思路分析】解函数f(x)?2sinx?sin2x?0，在[0，2?]的解，即2sinx?sin2x令左右为新函数h(x)和g(x)，作图求两函数在区间的交点即可．

【解析】：函数f(x)?2sinx?sin2x在[0，2?]的零点个数， 即：2sinx?sin2x?0在区间[0，2?]的根个数，

即2sinx?sin2x，令左右为新函数h(x)和g(x)，h(x)?2sinx和g(x)?sin2x， 作图求两函数在区间[0，2?]的图象可知：

h(x)?2sinx和g(x)?sin2x，在区间[0，2?]的图象的交点个数为3个．故选：B．

【归纳与总结】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题． 6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5?3a3?4a1，则a3?( ) A．16

B．8

C．4

D．2

23??a1?a1q?a1q?a1q?15【思路分析】设等比数列{an}的公比为q(q?0)，根据条件可得?4，解方程即可． 2??a1q?3a1q?4a1【解析】：设等比数列{an}的公比为q(q?0)，则由前4项和为15，且a5?3a3?4a1，有 ?a1?a1q?a1q2?a1q3?15?a1?1??，，?a3?22?4，故选：C． ?4?2??q?2?a1q?3a1q?4a1【归纳与总结】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了方程思想，属基础题． 7．已知曲线y?aex?xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y?2x?b，则( ) A．a?e，b??1

B．a?e，b?1

C．a?e?1，b?1

D．a?e?1，b??1

【思路分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae?1?0?2，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．

【解析】：y?aex?xlnx的导数为y??aex?lnx?1，由在点(1,ae)处的切线方程为y?2x?b， 可得ae?1?0?2，解得a?e?1，

又切点为(1,1)，可得1?2?b，即b??1，故选：D．

【归纳与总结】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

8．如图，点N为正方形ABCD的中心，?ECD为正三角形，平面ECD?平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A．BM?EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM?EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM?EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM?EN，且直线BM，EN是异面直线

【思路分析】推导出BM是?BDE中DE边上的中线，EN是?BDE中BD边上的中线，从而直线BM，EN是相交直线，设DE?a，则BD?2a，BE?3252a?a?2a，从而BM?EN． 44【解析】：点N为正方形ABCD的中心，?ECD为正三角形，平面ECD?平面ABCD，M是线段ED的中点，

?BM?平面BDE，EN?平面BDE，

BM是?BDE中DE边上的中线，EN是?BDE中BD边上的中线，

?直线BM，EN是相交直线，

设DE?a，则BD?2a，BE??BM?3252a?a?2a， 4463212a?a?a，?BM?EN，故选：B． a，EN?442

【归纳与总结】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．

9．执行如图所示的程序框图，如果输入ò为0.01，则输出的s值等于( )

1111 B． C． D． 2?2?2?45672222【思路分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运

A．2?行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

1【解析】：第一次执行循环体后，s?1，x?，不满足退出循环的条件x?0.01；

211再次执行循环体后，s?1?，x?2，不满足退出循环的条件x?0.01；

22111再次执行循环体后，s?1??2，x?3，不满足退出循环的条件x?0.01；

222?

11，而?0.01?0.01，可得：

26271111当s?1??2???6，x?7，此时，满足退出循环的条件x?0.01，

22221111输出s?1??2??6?2?6．

2222故选：C．

由于

【归纳与总结】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．

x2y210．已知F是双曲线C:??1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|?|OF|，则?OPF的面

45积为( )

3579A． B． C． D．

222222xy【思路分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C:??1的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，

45得到sin?POF，再由三角形面积公式求解．

x2y2【解析】：如图，不妨设F为双曲线C:??1的右焦点，P为第一象限点．

45

由双曲线方程可得，a2?4，b2?5，则c?a2?b2?3， 则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2?y2?9．

?x2?y2?921455155?联立?x2y2，解得P(，)．?sin?POF?．则S?OPF??3?3??．

392923?1??5?4故选：B．

【归纳与总结】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

6,?x?y…11．记不等式组?表示的平面区域为D．命题p:?(x,y)?D，2x?y…9；命题q:?(x,y)?D，

2x?y…0?2x?y?12．下面给出了四个命题

①p?q ②?p?q ③p??q ④?p??q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A．①③

B．①②

C．②③

D．③④

6,?x?y…【思路分析】由不等式组?画出平面区域为D．在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可．

0?2x?y…6,?x?y…【解析】：作出等式组?的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：

2x?y…0?命题p:?(x,y)?D，2x?y…9；是真命题，则?p假命题； 命题q:?(x,y)?D，2x?y?12．是假命题，则?q真命题； 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有： ①p?q真；②?p?q假；③p??q真；④?p??q假； 故答案①③真，正确．故选：A．

【归纳与总结】本题考查了简易逻辑的有关判定、线性规划问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,??)单调递减，则( )

2233????11A．f(log3)?f(22)?f(23) B．f(log3)?f(23)?f(22)

442233????11332C．f(2)?f(2)?f(log3) D．f(2)?f(22)?f(log3)

44【思路分析】根据log34?log33?1，?0?2【解析】：

?32?2?23?20?1，结合f(x)的奇偶和单调性即可判断．

1f(x)是定义域为R的偶函数?f(log3)?f(log34)，

4?32log34?log33?1，?0?2?2?23?2?1，?0?2?32?230?32?2?23?log34

1f(x)在(0,??)上单调递减，?f(2)?f(2)?f(log3)，故选：C．

4

【归纳与总结】本题考查了函数的奇偶性和单调性，关键是指对数函数单调性的灵活应用，属基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量a?(2,2)，b?(?8,6)，则cos?a，b?? ?【思路分析】数量积的定义结合坐标运算可得结果

【解析】：ab?2?(?8)?2?6??4，|a|?22?22?22，|b|?(?8)2?62?10， cos?a，b???422?10??2 ． 1022．故答案为：? 1010【归纳与总结】本题考查数量积的定义和坐标运算，考查计算能力．

14．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3?5，a7?13，则S10? 100 ． 【思路分析】由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．

a?a313?5【解析】：在等差数列{an}中，由a3?5，a7?13，得d?7??2，

7?34?a1?a3?2d?5?4?1．

10?9?2则S10?10?1??100．

2故答案为：100．

【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题．

x2y215．设F1，F2为椭圆C:?若△MF1F2为等腰三角形，则M?1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，

3620的坐标为 (3,15) ．

【思路分析】设M(m,n)，m，n?0，求得椭圆的a，b，c，e，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|?|MF2|，

△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|?2c或|MF2|?2c，运用椭圆的焦半径公式，可得所求点的坐标．

x2y2【解析】：设M(m,n)，m，n?0，椭圆C:??1的a?6，b?25，c?4，

3620c2e??，

a3由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|?|MF2|，

△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|?2c或|MF2|?2c，

2即有6?m?8，即m?3，n?15；

326?m?8，即m??3?0，舍去．可得M(3,15)．故答案为：(3,15)．

3【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，考查分类讨论思想方法，以及椭圆焦半径公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，分别为所在棱的中点，AB?BC?6cm，G，E，H，F，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 118.8 g． AA1?4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，

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