2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标） (3)

11【思路分析】该模型体积为VABCD?A1B1C1D1?VO?EFGH?6?6?4??(4?6?4??3?2)?3?132(cm3)，再由3D打

32印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．

【解析】：该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，

E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB?BC?6cm，AA1?4cm，

?该模型体积为：

11VABCD?A1B1C1D1?VO?EFGH?6?6?4??(4?6?4??3?2)?3?144?12?132(cm3)，

323D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，

?制作该模型所需原料的质量为：132?0.9?118.8(g)．故答案为：118.8．

【归纳与总结】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【思路分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b． （2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值． 【解析】：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得： ?a?0.20?0.15?0.7， ?0.05?b?0.15?1?0.7?解得乙离子残留百分比直方图中a?0.35，b?0.10． （2）估计甲离子残留百分比的平均值为：

x甲?2?0.15?3?0.20?4?0.30?5?0.20?6?0.10?7?0.05?4.05．

乙离子残留百分比的平均值为：

x乙?3?0.05?4?0.1?5?0.15?6?0.35?7?0.2?8?0.15?6．

【归纳与总结】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

18．（12分）?ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin（1）求B；

（2）若?ABC为锐角三角形，且c?1，求?ABC面积的取值范围．

【思路分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；

（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2?a2?a?1?1且1?a2?a?1?a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．

A?C??BB【解析】：（1）asin?bsinA，即为asin?acos?bsinA，

222BBB可得sinAcos?sinBsinA?2sincossinA，

222sinA?0，

BBB?cos?2sincos，

222B若cos?0，可得B?(2k?1)?，k?Z不成立，

2B1??sin?，由0?B??，可得B?；

223（2）若?ABC为锐角三角形，且c?1， 由余弦定理可得b?a2?1?2a1cosA?C?bsinA． 2?3?a2?a?1，

由三角形ABC为锐角三角形，可得a2?a2?a?1?1且1?a2?a?1?a2，

1?3331，)． a?(?a?2，可得?ABC面积S?asin?234822【归纳与总结】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化

解得

简运算能力，属于中档题．

19．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt?ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB?1，BE?BF?2，?FBC?60?．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC?平面BCGE； （2）求图2中的四边形ACGD的面积．

【思路分析】（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可得证；

（2）连接BG，AG，由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可得所求值．

【解析】：（1）证明：由已知可得AD//BE，CG//BE，即有AD//CG， 则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面； 由四边形ABED为矩形，可得AB?BE， 由?ABC为直角三角形，可得AB?BC， 又BCBE?E，可得AB?平面BCGE，

AB?平面ABC，可得平面ABC?平面BCGE；

（2）连接BG，AG，

由AB?平面BCGE，可得AB?BG，

在?BCG中，BC?CG?2，?BCG?120?，可得BG?2BCsin60??23， 可得AG?AB2?BG2?13，

在?ACG中，AC?5，CG?2，AG?13，

24?5?131可得cos?ACG?，即有sin?ACG?， ??52?2?552则平行四边形ACGD的面积为2?5??4．

5

【归纳与总结】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面几何的性质，考查推理能力，属于中档题． 20．（12分）已知函数f(x)?2x3?ax2?2． （1）讨论f(x)的单调性；

（2）当0?a?3时，记f(x)在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M?m的取值范围． 【思路分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，对a分类求解原函数的单调性；

aa（2）当0?a?3时，由（1）知，f(x)在(0,)上单调递减，在(，1)上单调递增，求得f(x)在区间[0，1]的

33?a32?a?,0?a?2?aa3?27最小值为f()???2，最大值为f(0)?2或f（1）?4?a．得到M?m??3，分类求得

327a?,2?a?3??27函数值域，可得M?m的取值范围．

【解析】：（1）f?(x)?6x2?2ax?2x(3x?a)，

a令f?(x)?0，得x?0或x?．

3aa若a?0，则当x?(??，0)(,??)时，f?(x)?0；当x?(0,)时，f?(x)?0．

33aa故f(x)在(??,0)，(,??)上单调递增，在(0,)上单调递减；

33若a?0，f(x)在(??,??)上单调递增；

aa若a?0，则当x?(??，)?(0，??)时，f?(x)?0；当x?(，0)时，f?(x)?0．

33aa故f(x)在(??,)，(0,??)上单调递增，在(，0)上单调递减；

33aa（2）当0?a?3时，由（1）知，f(x)在(0,)上单调递减，在(，1)上单调递增，

33aa3?f(x)在区间[0，1]的最小值为f()???2，最大值为f(0)?2或f（1）?4?a．

327?4?a,0?a?2a3于是，m??，M??．

2,2?a?327??a32?a?,0?a?2??27． ?M?m??3a?,2?a?3??27a38当0?a?2时，可知2?a?单调递减，?M?m的取值范围是(,2)；

2727a38当2?a?3时，单调递增，?M?m的取值范围是[，1)．

27278综上，M?m的取值范围[，2)．

27【归纳与总结】本题主要考查导数的运算，运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归

与转化思想，考查分类讨论的数学思想方法，属难题．

x2121．（12分）已知曲线C:y?，D为直线y??上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．

22（1）证明：直线AB过定点．

5（2）若以E(0,)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．

21【思路分析】（1）设D(t,?)，A(x1，y1)，则x12?2y1，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx1?2y1?1?0，

2设B(x2，y2)，同理可得2tx2?2y2?1?0，得到直线AB的方程为2tx?2y?1?0，再由直线系方程求直线AB过的定点；

（2）由（1）得直线AB的方程y?tx?1，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段2

1AB的中点M(t,t2?)，再由EM?AB，可得关于t的方程，求得t?0或t??1．然后分类求得|EM|?2及所

2求圆的方程．

1【解答】（1）证明：设D(t,?)，A(x1，y1)，则x12?2y1，

21y1?2?x， 由于y??x，?切线DA的斜率为x1，故1x1?t

整理得：2tx1?2y1?1?0．

设B(x2，y2)，同理可得2tx2?2y2?1?0．

1故直线AB的方程为2tx?2y?1?0．?直线AB过定点(0,)；

21?y?tx??1?22（2）解：由（1）得直线AB的方程y?tx?．由?，可得x?2tx?1?0． 22x?y???2于是x1?x2?2t,y1?y2?t(x1?x2)?1?2t2?1．

1设M为线段AB的中点，则M(t,t2?)，

2由于EM?AB，而EM?(t,t2?2)，AB与向量(1,t)平行，

?t?(t2?2)t?0，解得t?0或t??1．

5当t?0时，|EM|?2，所求圆的方程为x2?(y?)2?4；

25当t??1时，|EM|?2，所求圆的方程为x2?(y?)2?2．

2【归纳与总结】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

3??22．（10分）如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2，)，C(2，)，D(2,?)，弧AB，BC，CD所

44在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．

2（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|?3，求P的极坐标．

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