解：由 cos（A?C）+cosB=
3及B=π?（A+C）得 23 cos（A?C）?cos（A+C）=，
2 cosAcosC+sinAsinC?（cosAcosC?sinAsinC）= sinAsinC=
23, 23. 4w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又由b=ac及正弦定理得
2 sinB?siAn2
sCi n,故 sinB?3， 4B? sin于是 B=
33B?? 或 sin（舍去），
22π2π 或 B=. 332又由 b?ac知b?a或b?c
所以 B=
π。3w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（19）（本小题满分12分）
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如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ）证明：AB=AC
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（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解析：本题考查线面垂直证明线面夹角的求法，第一问可取BC中点F，通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线，第二问先作出线面夹角，即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC，从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。
解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF
1B1B，从而EFDA。 2B1 A1 C1 D A E C
连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。
（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60.
0.
设AC=2，则AG=2。又AB=2，BC=22，故AF=2。 3由AB?AD?AG?BD得2AD=2.AD2?22，解得AD=2。 3故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。 连接CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角。因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=
0
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1B1C=2， 20
所以∠ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30. 解法二：
（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E（
1b，，c）. 22
???1b于是DE=（，，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， DE?BC=0，求
22?
得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量AN?(x,y,z),则AN?BC?0,AN?BD?0. 又BC=（-1，1， 0），
????????x?y?0BD=（-1，0，c）,故???x?cz?0?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1?1令x=1, 则y=1, z=,AN=(1,1, ).
cc又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）
AC=60°， 由二面角A?BD?C为60°知，AN，故 AN?AC?AN?AC?cos60°，求得c?12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是 AN? ， CB1?(1 （1，1，2），?1，2）cosAN，CB1?AN?CB1AN?CB1?1， 2CB1?60° AN，所以B1C与平面BCD所成的角为30°
（20）（本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； （Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
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解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，
第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。 解：（错误！未找到引用源。）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。
（错误！未找到引用源。）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
11C4C68 P(A)??215C10w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
i?0，1，2 （错误！未找到引用源。）从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，Ai表示事件：
1，2 Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j?0， B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
1，2 ，且B?A0?B2?A1?B1?A2?B0 Ai与Bj独立，i，j?0，故 P(B)?P(A0?B2?A1?B1?A2?B0)
?P(A0)?P(B2)?P(A1)?P(B1)?P(A2)?P(B0)
11112222C4C6C6C4C6C6C4C4 ?2?2??2?2?2 2C10C10C10C8C10C10（21）（本小题满分12分）
13设函数 f ( x ) ? ( 1 ? a ) x 2 ? 4 ax ? 24 a ，其中常数a>1 x ?3
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
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解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
解： （错误！未找到引用源。）f?(x)?x?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a)2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数。
综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函
数。
（错误！未找到引用源。）由（错误！未找到引用源。）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值。
1(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a 3432 ??a?4a?24a
3 f(2a)? f(0)?24a 由假设知
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?a?1,?a?1?4???f(2a)?0, 即??a(a?3)(a?6)?0, 解得 1
（22）（本小题满分12分）
3x2y2??1(a?b?0)已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B a2b2 3
2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 22 2（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP??OA?OB成立？
??若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
解：（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为
0?0?c2c2??c2
故
2， c?12w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由 e?c3? a3 得 a?3，b?a2?c2=2
（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为2x+3y2=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1)
C 上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为（， 且x1?x2,y1?y2）22(x1?x2)2?3(y1?y2)2?6
整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6
2222又A、B在C上，即2x1?3y122?6,2x2?3y2?6
22故 2x1x2?3y1y2?3?0 ①
将 y?k(x?1)代入2x2?3y2?6,并化简得
(2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6k23k2?6于是 x1?x2?, x1x2=,
2?3k22?3k2?4k2 y1y2?k(x1?1)(x2?2)?
2?3k22
2 代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是y1?y2?k(x1?x2?2)=? 因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?)222
322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。
22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。
综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立，此时l的方程为 22x?y?2?0
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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