高一数学（人教新课标A版）对数与对数函数 教师版

对数与对数函数

一、目标认知学习目标

自然对数；

1．掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与

2．掌握对数函数的概念、图象和性质.

重点

对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用；理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.

难点

正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

二、知识要点梳理

知识点一、对数及其运算

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念： 1．如果其中a叫做对数的底 数，N叫做真数.

，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b.

2．对数恒等式： 3．对数

(1)0和负数没有对数，即 (2)1的对数为0，即 (3)底的对数等于1，即

(二)常用对数与自然对数

具有下列性质： ； ； .

通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e为底的对数叫做自然

对数，

(三)对数式与指数式的关系

.

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.

(四)积、商、幂的对数 已知 (1)

；

推

广

：

(2) (3)

(五)换底公式

.

；

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1)

， 即

，

令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即 即：

.

(2)

，令logaM=b， 则有ab=M， 则有

即， 即，即

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论：

.

知识点二、对数函数

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.

2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0

随a的增大而远离x轴.(见图1)

(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

(3)当a>1时，

三、规律方法指导

容易产生的错误

(1)对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0 且a11， N>0， b?R)容易记错. (2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：

一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.

二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面

的等式是错误的：

loga(M±N)=logaM±logaN， loga(M·N)=logaM·logaN，

loga.

(3)解决对数函数y=logax (a>0且a11)的单调性问题时，忽视对底数a的讨论.

(4)关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a， N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. 经典例题透析

类型一、指数式与对数式互化及其应用

1．将下列指数式与对数式互化：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6).

思路点拨：运用对数的定义进行互化.

解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；

(6). 总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

(1) (2) (3)lg100=x (4)

思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.

解：(1)

(2)

(3)10x=100=102，于是x=2； (4)由

；

；

.

类型二、利用对数恒等式化简求值

2．求值：

解：

总结升华：对数恒等式数形式；③其值为真数.

举一反三： 【变式1】求

.

中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对

的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)

思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. 解：

.

类型三、积、商、幂的对数

3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg32=2lg3=2b (2)原式=lg26=6lg2=6a (3)原式=lg2+lg3=a+b (4)原式=lg22+lg3=2a+b (5)原式=1-lg2=1-a

(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a

举一反三： 【变式1】求值

(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2

(1) 解： (1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2

=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.

【变式2】已知3a=5b=c，

，求c的值.

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