2018版高中数学第二章平面向量2.3.2第1课时平面向量的坐标表示及坐标运算学案苏教版

第1课时 平面向量的坐标表示及坐标运算

学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．

知识点一 平面向量的坐标表示

思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量

a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？

梳理 (1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_________i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝

xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的(直

角)坐标，记作a＝(x，y)．

②在平面直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系

表示形式不同 区 别 意义不同 向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点A(x，y)中间没有等号 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同

知识点二 平面向量的坐标运算

思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

梳理 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ

向量 加法 向量 减法 向量 数乘 数学公式 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝____________ →

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．

类型一 平面向量的坐标表示

→

例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝

a，AB＝b.四边形OABC为平行四边形．

→

(1)求向量a，b的坐标； →

(2)求向量BA的坐标； (3)求点B的坐标．

反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围．

跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第→→→→

一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标．

类型二 平面向量的坐标运算

→→→

例2 已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)． (1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？ (2)若点P在第三象限，求实数λ的取值范围．

反思与感悟 向量坐标运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练2 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求： 11

(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.

23

类型三 平面向量坐标运算的应用

→→→

例3 已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； (2)点P在第三象限内．

反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．

跟踪训练3 已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．

1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝________.

1→→→

2．已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是________．

2

→→

3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为________．

→→

4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________.

5．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.

1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．

2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量→

的终点坐标不是向量的坐标，此时AB＝(xB－xA，yB－yA)．

3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积．

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 a＝23i＋2j.

思考2 对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为

a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任

意平移，因此a的位置还与其起点有关． 梳理 (1)①单位向量 知识点二

思考 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，

λa＝λx1i＋λy1j. 梳理 (1)(λx1，λy1) 题型探究

例1 解 (1)作AM⊥x轴于点M，

则OM＝OA·cos 45°＝4×

2

＝22， 2

AM＝OA·sin 45°＝4×2

＝22. 2

∴A(22，22)，故a＝(22，22)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°， ∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3，

?333?∴C?－，?， ?22?

→→?333?∴AB＝OC＝?－，?，

?22?

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