§ 9 重积分习题与答案

第九章 重积分

A

1、 填空题

1）交换下列二次积分的积分次序

（1）（2）（3）（4）（5）

?dy?012?yy2yf?x,y?dx?______________________________________________

??201dy?2f?x,y?dx?______________________________________________

y01dy?f?x,y?dx?_______________________________________________

01?y2?1?y2y?dy?0f?x,y?dx?___________________________________________

?dx?140elnx0f?x,y?dy?______________________________________________

f?x,y?dx?________________________________________

（6）

?dy?1?y?4?2?4?y2）积分

?20dx?e?ydy的值等于__________________________________

x223)设D??x,y?0?x?1,0?y?1，试利用二重积分的性质估计I?值则 。

????xy?x?y?d?的

D4)设区域D是有x轴、y轴与直线x?y?1所围成，根据二重积分的性质，试比较积分

I????x?y?d?与I????x?y?d?的大小________________________________

DD235）设D???x,y?0?x????2,0?y???2?，则积分I???1?sin?x?y?dxdy 2?D___________________________________________

6)已知?是由x?0,y?0,z?0,x?2y?z?1所围，按先z后y再x的积分次序将

________________ I????xdxdydz化为累次积分，则I?__________?

7）设?是由球面z?2?x2?y2与锥面z?x2?y2的围面，则三重积分

I????f(x2?y2?z2)dxdydz在球面坐标系下的三次积分表达式为

?2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值

1

1） 2）

?2a0dx?2ax?x20(x2?y2)dy

?dx?0ax0x2?y2dy

3、利用极坐标计算下列各题 1） 2）

2222D，其中是由圆周x?y?1及坐标轴所围成的在第一象限的ln(1?x?y)d???xe??D2?y2d?，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

D闭区域. 3）

yarctand?，其中D是由圆周x2?y2?4,x2?y2?1及直线y?0,y?x所围成??xD的在第一象限的闭区域.

4、选用适当的坐标计算下列各题

x21)??2d?,其中D是直线x?2,y?x及曲线xy?1所围成的闭区域. Dy

2

2） 3） 4）

5、设平面薄片所占的闭区域D由螺线??2?上一段弧?0???22??(1?x)sinyd?，其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域.

D??DR2?x2?y2d?，其中D是圆周x2?y2?Rx所围成的闭区域.

??Dx2?y2d?，其中D是圆环形闭区域(x,y)a2?x2?y2?b2.

????????与直线??所围成，

22?它的面密度为??x,y??x?y，求这薄片的质量（图9-5）.

6、求平面y?0，y?kx?k?0?，z?0，以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.

3

7、设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2，y?x和x轴所围成，它的面密度

??x,y??x2?y2，求该薄片的质量.

8、计算由四个平面x?0，y?0，x?1，y?1所围成的柱体被平面z?0及

2x?3y?z?6截得的立体的体积.

229、求由平面x?0，y?0，x?y?1所围成的柱体被平面z?0及抛物面x?y?6?z

截得的立体的体积.

10、计算以xoy面上的圆周x?y?ax围成的闭区域为底，而以曲面z?x?y为顶的曲顶柱体的体积.

2222 4

11、化三重积分I????f?x,y,z?dxdydz为三次积分，其中积分区域?分别是

?1）由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0,z?0所围成的闭区域.

2）由曲面z?x2?2y2及z?2?x所围成的闭区域.

12、设有一物体，占有空间闭区域???x,y,z?0?x?1,0?y?1,0?z?1，在点?x,y,z? 处的密度为??x,y,z??x?y?z，计算该物体的质量. 13、计算

23xy???zdxdydz，其中?是由曲面z?xy，与平面y?x,x?1和z?0所围成?2??的闭区域.

14、计算

???xyzdxdydz，其中?为球面x?2?y2?z2?1及三个坐标面所围成的在第一卦

限内的闭区域. 15、算

???zdxdydz，其中?是由锥面z??hx2?y2与平面z?h?R?0,h?0?所围成R的闭区域.

5

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