小学数学思想方法

小学毕业生数学学习材料（二）

小学数学思想方法

小学数学是一门基础学科。小学数学中不仅包括了大量的数学基础知识，而且在学习和运用这些数学知识的过程中，还以潜移默化的方式渗透了一些重要的数学思想方法。本讲义从较高的视点出发，对已有的关于数学思想方法零散而模糊的感性认识，进行科学地、系统地概括，结合一些经过精选的数学竞赛题目，进行深入细致的讲解，并且安排了必要的和适量的练习，力求通过学习，对一些常用的数学思想方法和技巧能够明确认识，融会贯通，以提高数学思维能力和解题能力，为更好地为适应初中数学的学习打下良好的基础。

第一讲 从简单情况找规律

当一个问题非常复杂时，首先就要想到，其中是否隐藏着某种规律，如果能找到这种规律，问题就会迎刃而解。探索规律，往往要利用已有的知识和经验，从简单的、熟悉的地方开始，从粗略的估计开始，同时注意极端的情况，如最大、最小等。

例1 1995个7连乘，积的个位数字是多少？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

解：71＝7，个位数字是7；72＝49，积的个位数字是9；73＝343，积的个位数字是3；74＝2401，积的个位数字是1；75＝16807，积的个位数字是7。 观察发现，随着因数的增加，积的个位数字按“7、9、3、1”四个数字循环。1995÷4余3，所以积的个位数字是第三个数字3。

1121231234 例2 按一定规律排列着一串数：,,,,,,,,,，?，

122333444412399100，，，?，，。这些数的总和是多少？(北京市“迎春100100100100100杯”数学竞赛题)

1211 解：把这些数分成100组分别求和。第1组：＝；第2组：＋＝

22111?2123(1?3)?3?21?31234；第3组：＋＋＝＝；第4组：＋＋＋2333324444(1?4)?4?21?41?n＝＝。观察发现，第n组的和是。于是这串数的总和

4221

是

1?21?31?41?10011?1＋＋＋＋?＋＝×100＋

2222221?2?3?4???100(1?100)?100?2＝50＋＝50＋2525＝2575。

22例3 1×1＋2×2＋?＋1996×1996＋1997×1997的个位数字是几？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

解：每10个连续平方数的和的个位数字，是1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＝45的个位数字，是5，从而原式的个位数字与5×199＋1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×6＋7×7＝1135的个位数字相同，是5。

例4 长方形内共有1996个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2000个点。在这2000个点中，任意3个点都不在同一条直线上。以这2000个点为顶点，可作出多少个互不重叠的三角形？(“小学生数学报”数学竞赛题)

解：试画发现，当长方形内加上第一个点以后，会形成4个三角形。此后，每增加1个点，就会增加2个三角形。所以，长方形内的2000个点，总共可以形成4＋2×(1996－1)＝3994(个)三角形。

练 习 一

1．把

1995化成小数后是一个无限小数，这个无限小数从小数点后面第131位到第1995位，数字6共出现多少次？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

2．如果1＝1！1×2＝2！1×2×3＝3！?? 1×2×3×?×99×100＝100！那么1！＋2！＋3！＋?＋100！的个位数字是几？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

3．紧接着1989后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。例如8×9＝72，在9后面写2；??得到一串数字：1,9,8,9,2,8,6，?这串数字从1开始向右数，第1989个数字是几？(“从小爱数学”数学竞赛题)

1121123211234,,,,,,,,,,,,，12223333344443217,,,??中，(1)是第几个分数？(2)第400个分数是几分之几？444104．在一串分数：

(“从小爱数学”数学竞赛题)

5．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不

2

少于50个小纸片，至少要画多少条直线？ (“华杯赛”试题)

6．A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第二个小朋友找到放球最少的盒子，从其它盒子中各取一个球放入这个盒子，如此进行下去。当34位小朋友放完后，B盒子中有多少个球？(南京市“兴趣杯”数学竞赛题)

7．有一个著名的数列叫“菲波纳契数列”，它的前两个数是1,1，从第三个数起，每个数等于前两个数的和。那么在这个数列中，第2007个数是单数还是双数？

8．有一串数：1,2,4,8,16,32,64，?这串数中，第2008个数除以9的余数是多少？

9．把自然数中奇数：1,3,5,7，?依次排成5列(如下面所示)，把最左边的一列叫第一列，从左到右依次编号：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 1 3 5 7 15 13 11 9

17 19 21 23 31 29 27 25

┆ ┆ ┆ ┆ ┆ 这样，第2007个数出现在第几列？

10．在一张足够长的纸条上从左向右依次写上1,2,3,?形成一个“大数”，这个数从左数第200位上的数字是几？

11．将一个长40cm、宽1cm的长方形纸条连续对折3次，然后从它的一端开始，每隔1cm剪一刀，最后，可以得到边长为1cm的小正方形多少块？长2cm、宽1cm的小长方形多少块？(《小学生数学报》数学竞赛题)

12．下面是按规律排列的三角形数阵：

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

??

3

那么第100行左起第三个数是多少？

第二讲 从整体上看问题

解决数学问题的过程是一个辩证的思维过程，有时需要从局部的、简单的情况入手，以发现整体的规律；有时需要从整体入手，以避免局部细节的干扰。

例1 用0、1、2、3、4五个数字组成四位数，每个四位数中的数字不同，求所有这样的四位数的和。(“华杯赛”试题)

解：千位数字是1的四位数有4×3×2＝24(个)(因为百位数字有4种可能，十位数字有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，千位数字是2、3、4的也各有24个。百位数字是1的四位数有3×3×2＝18(个)(因为千位数字不能是0，只有3种可能，十位数字可以是0，有3种可能，个位数字有2种可能)。同理，百位数字是2、3、4的也各有18个。十位数字、个位数字是1、2、3、4的也各有18个。因此，所求的总和是1000×(1＋2＋3＋4)×24＋(100＋10＋1)×(1＋2＋3＋4)×18＝259980。 例2 计算：1－

234－－

1?(1?2)(1?2)?(1?2?3)(1?2?3)?(1?2?3?4)－?－

10。(小学数学奥林匹克竞赛题)

(1?2?3???9)?(1?2?3???10) 解：从算式的整体上看，所有分数的分子都等于分母中两个因数的差，

1111111于是，原式＝1－(1－)－(－)－?－(－)＝1－(1－)＝。

33645555555例3 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD—A1B1C1D1，大正方体内的对角线AC1、BD1、CA1、DB1所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明玻璃小正方体用了多少个？(“华杯赛”试题)

4

解：AC1、BD1、CA1、DB1四条对角线都穿过位于正方体中心的那个小正方体，此外，任何两条对角线都没有穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过(401－1)÷4＋1＝101(个)小正方体，这表明大正方体的棱是由101个小正方体组成的。所以总共用了无色透明玻璃小正方体1013－401＝1029900(个)。

例4 右面是一个乘法算式，每个□内填一个数字，这个算式中的乘积

应该是多少？(小学数学奥林匹克竞赛题) 1□

× □□

□ 5□

□□□ □ 8□□

解：算式的被乘数是10几，乘数是两位数，积只能是1800多，而18×99＝1782＜1800，所以被乘数是19。因为19×89＝1691＜1800，所以乘数是90多。被乘数是19，被乘数与乘数个位数的积只能是150几，而150÷19＝7.8?所以乘数的个位数字是8，19×8＝152。算式的乘积是19×98＝1862。 练 习 二

1231988 1．计算：＋＋＋?＋。(北京市“迎春杯”数学竞

1988198819881988赛题)

2．计算：1学竞赛题)

3．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6m、3m、2m。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4cm。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，那么大水池的水面将升高多少厘米？(“华杯赛”试题)

4．一个圆形水池，小明和小红分别从直径AB两端同时出发，沿池边步

7行，小明顺时针而行，小红逆时针而行，在距A点10处两人第一次相遇，

15相遇后继续行走，第二次相遇正好在B点，那么水池的周长是多少米？(北京市“迎春杯”数学竞赛题)

5．在图中，已知矩形GHCD的面积是矩形ABCD面积的

1，矩形MHCF的411111＋2＋3＋4＋?＋20。(《小学生数学报》数2612204205

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