自主招生真题集萃

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2010年华约自招——数学

即2010年五校合作自主选拔通用基础测试

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

?a?i?1． 设复数w???，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为

?1?i?3113A．? B．? C． D．

22222． 设向量a，b满足a?b?1，a?b?m，则a?tb?t?R?的最小值为

23．

4．

5．

6．

A．2 B．1?m2 C．1 D．1?m2 如果平面?，?，直线m，n，点A，B满足：?∥?，m??，n??，A??，B??，且ABππ与?所成的角为，m⊥AB，n与AB所成的角为，那么m与n所成角的大小为

34ππππA． B． C． D．

3468VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，锥V?ABCD的体积之比为 A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

AC在△ABC中，三边长a，b，c满足a?c?3b，则tantan的值为

221121A． B． C． D．

4235如图△ABC的两条高线AD，BE交于H，其外接圆圆心为O，过AO作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与

E△GAH面积之比为

A．1:4 B．1:3 C．2:5 D．1:2 HOGBDFC7． 设f?x??eax?a?0?，过点P?a，0?且平行于y轴的直线与曲线C:y?f?x?的交点为Q，曲

线C过点Q的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最小值是

2ee2eA．1 B． C． D．

2242222xyxy8． 设双曲线C1:2??k?a?2，k?0?，椭圆C2:2??1，若C2的短轴长与C1的实轴长

a4a4的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为

A．22?k B．2 C．41?k D．4

9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作

为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小

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值为 A．6 B．7 C．8 D．9

10． 设定点A、B、C、D是以o点为中心的正四面体的顶点，用?表示空间以直线OA为轴满足条

件??B??C的旋转，用?表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用?表示空间以l为轴的180旋转，设??表示变换的复合，先作?，再作?，则?可以表示为 A．????? B．?????? C．????? D．??????

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分14分）

A?B在△ABC中，已知2sin2?cos2C?1，外接圆半径R?2．

2⑴ 求角C的大小；

⑵ 求△ABC面积的最大值． 12． （本题满分14分）

设A，B，C，D为抛物线x2?4y上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1，d2，已知

d1?d2?2AD．

⑴ 判断△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若△ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程． 13． （本小题满分14分）

2，求正四棱锥的表面积的最小值； ⑴ 正四棱锥的体积V?3⑵ 一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．

14． （本小题满分14分）

假定亲本总体中三种基因型式：AA，Aa，aa的比例为u:2v:w(u?0，v?0，w?0，u?2v ?w?1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；

⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． （本小题满分14分）

1x?m???2t?1?2s?1设函数f?x??． ，且存在函数s???t??at?b?t?，a?0?，满足f???2sx?1???t??2s?1?2t?1⑴ 证明：存在函数t???s??cs?d?s?0?，满足f?； ??st??1⑵ 设x1?3，xn?1?f?xn?，n?1，2，，证明：xn?2≤n?1．

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2011年华约自招——数学

即2011年高水平大学自主选拔学业能力测试

一、 选择题

15?则z?（ ） z24321A． B． C． D．

54322． 在正四棱锥P?ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为

1． 设复数z满足z?1且z?2．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（ ）

1111A． B． C． D．

612383． 过点（-1,1）的直线l与曲线y?x3?x2?2x?1相切，点（-1,1）不是切点，则直线l的斜率是

（ ） A．2 B．1 C．-1 D．-2

2π4． 若A?B?，则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为（ ）

333331213， ，1?1?A．1?B．， C．1? D．， 22222222

5． 如图，O1和O2外切于点C，O2又都和O内切，切点分别为A，B．设

?AOB??，?AC?B?，则（ ）

A．cos??sin?2C．sin2??sin??0

?0

B．sin??cos?A2D．sin2??sin??0

?0

CBO2O1O6．

7．

8．

9．

已知异面直线a，b成60?角．A为空间一点则过A与a，b都成45?角的平面（ ）

C有且只有三个 A有且只有一个 B有且只有两个 D有且只有四个

??331?1??，?，c?，?，xa?yb?zc?已知向量a??0，1?，b???1，1?则x2?y2?z2的????2???2?2???2最小值为（ ）

43A．1 B． C． D．2

322O为坐标原点，且?OFA?135?，C为抛物线准线与x轴AB为过抛物线y?4x焦点F的弦，

的交点，则?ACB的正切值为（ ）

424222A．22 B． C． D．

533如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DED上一点，ADAEDF?x，?y，?z，且y?z?x?1，则△BDF面积的最大值为（ ） ABACDEA810A． B．

2727D1416FC． D．

2727E

设

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10． 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）

A．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C．存在某种分法，所分出的三有形至少有3个锐角三角形 D．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、 解答题

11． 已知△ABC不是直角三角形．

⑴ 证明：tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC；

tanB?tanC⑵ 若3tanC?1?，且sin2A，sin2B，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求

tanAA?C值． cos212． 已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯

直立放置）．质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． ⑴ 若b?3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； ⑵ 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

2x1?1?2，f?1??1，f???．令x1?，xn?1?f?xn?． 13． 已知函数f?x??ax?b2?2?3⑴ 求数列?xn?的通项公式； 1． 2e2xy214． 已知双曲线C:2?2?1?a?0，b?0?，F1，F2分别为C的左右焦点．P为C右支上一点，

abπ且使?F1PF2?，又△F1PF2的面积为33a2．

3⑴ 求C的离心率e；

⑵ 设A为C的左顶点，Q为第一象限内CC上的任意一点，问是否存在常数????0?，使得

⑵ 证明x1x2xn?1??QF2A???QAF2恒成立．若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．

PFE2aF12cxPF2

15． 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率．

⑴ 求p1，p2，p3，p4；

⑵ 探究数列?pn?的递推公式，并给出证明；

⑶ 讨论数列?pn?的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．

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