高等数学竞赛辅导例题(1)

2014年10月竞赛辅导练习题（一）

一、极限与连续部分

21．求极限limxln(xsin)． （ ?x???1x1 ） 61 ） 62．求极限lim(x?x?x???332x2?x)． （ ?mnn?m??)m、n?N（且）． （ ） m?nnx?1xm?12x?111?n1e2)?(1?)n]． （ ） 4．求极限limn[(1?n??1?nn23．求极限lim(ex?e2x???enxx5．求极限lim()． （ ex?0n31n?12 ）

1?6．已知极限limx?0f(x)?1sinx2ln(x?1?x)2?b(b?0)，求常数a、n，使得当x?0时，

f(x)~axn． （ a?3b、n?3 ）

x?ax37．选择适当的a，为尽可能高阶的无穷小，b使得当x?0时，f(x)?arctanx?1?bx2并求阶数的最大值． ( a?143、b?，n?7 ) 155f(x)x8．设函数f(x)有二阶连续导数，且极限lim[1?x?求f(0)、f?(0)、f??(0) ]?e3，

x?0xf(x)x及lim[1?]. （ 0、0、4、e2 ） x?0x9．求极限lim?1n?． （ ）

n??k?1n2?k2?14n10．设x0?0，xn?1?11?5，证明limxn存在，并求之． ()

n??xn?1211．设函数序列fn(x)?xn?x（n?1， ，2，3，?）

1]上有且仅有一个实根xn； （1）证明?n?1，方程fn(x)?1在区间[， （2）证明极限limxn存在，并求之． ( 1 )

n??1212．设数列{xn}满足0?x1??，xn?1?sinxn(n?1，2，3，?)．

1?xn?1xn2)． （ e6 ） （1）证明极限limxn存在；（2）求极限lim(n??n??xn113．设函数f(x)在区间(0，1)内有定义，且exf(x)与e?f(x)都是(0，1)的单调增加函数，证明：函数f(x)在区间(0，1)内连续．

14．设函数f(x)、g(x)在闭区间[a，b]上连续，且xn?[a，b]，使得g(xn)?f(xn?1)（n?1，证明：至少有一点x0?[a，b]，使得g(x0)?f(x0)． ，2，3，?）

二、一元函数微分部分

1．设严格单调函数y?f(x)有二阶连续导数，其反函数为x??(y)，且f(1)?1,f?(1)?2，

f??(1)?3，求???(1)． （ ?3/8 ）

2．设函数y?(arcsinx)2，求y(n)(0)．

(当n为偶数时，y(n)(0)?2[(n?2)!!]2；当n为奇数时，y(n)(0)?0)

n?11x(n)3．设函数y?xe，证明y(?1)nx?n?1e． xn??1n4．设曲线y?tanx在x??4处的切线在x轴上的截距为xn，求极限limy(xn)．(

1) e5．设f(x)是可导的偶函数，它在x?0点的某个邻域内满足关系式

f(ex)?3f(1?sinx2)?2x2?o(x2)，求曲线y?f(x)在点(?1，f(?1))处的切线方程．

（ y?x?1 ） 6．设函数f(x)在区间(??，??)内有定义，对任何实数x、y有f(x?y)?f(x)f(y)，

且f(0)?1，f?(0)?a．证明f(x)在区间(??，??)内可导，并求f?(x)及f(x)． （ f?(x)?af(x)，f(x)?e ）

7．若函数f(x)在区间(??，??)内可导，设F(x)?f(x)(1?sinx)，证明F(x)在x?0 点可导的充分必要条件是f(0)?0． 8．若函数f(x) 处处连续，且limx?02ax1f(x)?A（A为常数），设函数?(x)??f(xt)dt，

0x讨论函数??(x)在x?0点处的连续性． （ ??(x)在x?0点处连续 ） 9．若函数f(x)在闭区间[1，2]上连续，在开区间(1，2)内可导，且f(1)?1/2，f(2)?2，证明在开区间(1，2)内至少存在一点?，使得?f?(?)?2f(?)?0．

10．设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内二次可导，且f(0)?f(1)，证明在开区间(0,1)内至少有一点?，使得f??(?)?2f?(?)． 1??11．设函数f(x)在闭区间[0，1]上有二阶导数，且f(0)?f(1)?f?(0)?f?(1)?0，证明存在??(0，1)使得f??(?)?f(?)． 12．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区间(a，b)至少有两个不同的零点．

13．设函数f(x)在区间[a，b]上有二阶连续导数，证明对于任意实数r?0，x0?(a，b)，且x0?r?(a，都存在??(x0?r，使得f??(?)?b)，x0?r)，

?baf(x)dx??xf(x)dx?0，证明函数f(x)在

ab3r3?x0?rx0?r[f(x)?f(x0)]dx．

3?sin2x?cosx． 14．当0?x?时，证明不等式22x15．当0?a?b时，证明不等式

2alnb?lna1??． 22b?aa?bab16．设函数f(x)在区间[a,b]上有二阶导数，f?(a)?f?(b)?0，证明在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f??(?)?4f(b)?f(a)． 2(b?a)17．若函数f(x)有二阶连续导数，且f?(0)?0，limx?0f??(x)?1，判断(0，f(0))是否为 x曲线y?f(x)的拐点？x?0是否为函数f(x)的极值点．（不是拐点，是极小值点） 18．设函数?(x)在x?x0连续，且?(x0)?0，讨论函数f(x)?(x?x0)n?(x)（其中n是正整数）在x?x0点的极值情况．（当n为偶数时：?(x0)?0，f(x0)为极小值、

?(x0)?0，f(x0)为极大值；当n为奇数时，f(x0)不是极值 ）

19．已知函数g(x)在区间[a，b]上连续，函数f(x)在区间[a，b]上二次可导，且满足

f??(x)?g(x)f?(x)?f(x)?0，f(a)?f(b)?0，证明：在[a，b]上f(x)恒为常数．

20．设[0，??)上的可导函数f(x)满足0?f(x)?x，证明在(0，??)内至少存在一21?x1??2点?，使得f?(?)?．

(1??2)221．若当x?0时，方程kx?1?1有且仅有一个实根，求k的取值范围． 2x （ k?0或k?22．证明2x?x2?1有且仅有三个实根．

23 ） 9三、一元函数积分部分

1．计算不定积分

?dx2?tanx2（x??2）． （ arcsinsinx2?C ）

2．求不定积分

xlnxlnx?ln(x?1?x2)?C ） ． （ dx?(1?x2)3/21?x2x?2xx2exe?C ） 3．求不定积分?． （ dx2x?2(x?2)4．求不定积分e??x2cosx?sinxsinx2dx． （ 2e?x2sinx?C ）

5．设函数y?y(x)由方程y(x?y)?x确定，求不定积分

2?dx3yy．（ ?2ln?C ）

xxy2x2?ax?26．若不定积分?dx的结果中不含反正切函数，求a值． （ ?1 ） 2(x?1)(x?1)327．设函数f(x)可导，且xf?(x)dx?xcosx?4xsinx?6cosx?C，求f(x)．

? （?8．计算定积分

sinxcosx??C） x2x???2?/3/3(ecosx?e?cosx)dx． （ 0 ）

?9．计算定积分

20dx?． （ ）

41?tan2014x10．计算定积分

?42ln(9?x)ln(9?x)?ln(3?x)dx． （ 1 ）

11．计算定积分

?1e?2n?d1coslndx． （ 4n ） dxx12．设f??(x)连续，f??(x)?0，且f?(0)?f(0)?0，求极限lim?x?0??(x)0f(t)dt其中?(x)?x0f(t)dt是曲线y?f(x)在点(x，f(x))处的切线在x轴上的截距． （ 1/8 ） 13．设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(0)?0，使得

?101)，f(x)dx?0，证明存在??(0，??0f(x)dx??f(?)．

14．设函数f(x)的区间[a，b]上连续且非负，M是f(x)在区间[a，b]上的最大值，证明：limn??n?bafn(x)dx?M．

15．设函数f(x)在区间(0，??)内可导，f(1)?2，求对任何x、t?(0，??)都有

?xt0（ f(x)?2(lnx?1) ） f(u)du?t?f(u)du?x?f(u)du，求函数f(x)．

112xt16．若函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且f(x)?3x?1?x?10求函数f(x)． f2(x)dx，

（ f(x)?3x?31?x2或f(x)?3x?17．设f(x)设非负可积函数，a，b为正数，且

31?x2 ） 2?b?ab?axf(x)dx?0，证明不等式 f(x)dx．

?何实数a，b?[0，1]，都有

b?axf(x)dx?ab?218．设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，且满足|f(x)|?1,?10f(x)dx?0，证明对于任

?baf(x)dx?1成立． 219．证明不等式

?x?1xsint2dt?1，其中x?0． x20．设函数f(x)具有二阶导数，且f??(x)?0，函数g(x)在区间[0，a]上连续（a?0），证明

1a1af[g(x)]dx?f[g(x)dx]． ??00aa

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