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上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟
数学（理）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数f(x)?sin(2x??3)的最小正周期是__________．
2．若关于x的不等式2x2?3x?a?0的解集为(m,1)，则实数m?_________．
3．（理）已知集合A???1,0,a?,B?x1?3x?3，若A?B??，则实数a的取值范围 是 ． 4．已知复数z满足
??i＝3，则复数z的实部与虚部之和为__________． z?11220135．求值：1?2C2013?4C2013???(?2)2013C2013?___________．
6．已知向量a?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超过5，则k的取值范围是____________．
x开始 k?1 a7．设a?0,a?1，行列式D?221301中第4?3k2?6k?5?0 是 输出k 否 k?k?1 3行第2列的代数余子式记作y，函数y?f?x?的反函数图像经过点?2,1?，则a? ． 8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值
是 _______．
9．（理）已知cos(???)?结束 8题 理第
35??,sin???，且??(0,),??(?,0)，则 51322sin??______．
??1?x2,x?[?1,0)10．（理）设函数f(x)??，则将y?f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得
??1?x,x?[0,1]几何体的体积为____________．
11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2
且小于或等于5的事件为B，则事件A?B的概率P(A?B)?____________．
?1(x?1)?12．（理）设定义域为R的函数f(x)??|x?1|，若关于x的方程
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22?____________． f2(x)?bf(x)?c?0有三个不同的实数解x1,x2,x3，则x12?x2?x3
(x?1)2?sinx13.（理）函数f(x)?的最大值和最小值分别为M,m，则M?m?______． 2x?12Sn2214．（理）设Sn为数列?an?的前n项和，若不等式an?2?ma1对任意等差数列?an?及
n任意正整数n都成立，则实数m的最大值为_______.
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
????????15. 已知A(a1,b1)，B(a2,b2)是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA?OB的充要条
件是 （ ）
A．
b1b2ab???1 B.a1a2?b1b2?0 C.1?1 D.a1b2?a2b1 a1a2a2b2（ ）
16.（理）关于直线，m及平面α，β，下列命题中正确的是
A．若l//?,????m,则l//m B．若l??,l//?,则??? C．若l//?,m//?,则l//m D．若l//?,m?l，则m??
y217. 过点P(1,1)作直线与双曲线x??1交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的
22直线 （ ） A．存在一条，且方程为2x?y?1?0 B．存在无数条 C．存在两条，方程为2x??y?1??0 D．不存在 18. （理）已知a?0且a?1，函数f(x)?loga(x?x2?b)在区间(??,??)上既是奇函
数又是增函数，则函数g(x)?loga|x|?b的图象是 ( )
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三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：已知AB?平面BCD，BC?CD，AD与平面BCD所成的角为30?，且AB?BC?2． （1）求AD与平面ABC所成角的大小； （2）求点B到平面ACD的距离．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列． （1）求证：0?B?C
D
B A
?31?sin2B（2）求y?的取值范围．
sinB?cosB
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数f(x)?a?(k?1)a（1）求k的值； （2）（理）若f(1)?x?x；
(a?0且a?1)是定义域为R的奇函数．
32x?2x，且g(x)?a?a?2m?f(x)在[1,??)上的最小值为2?2，求m的值．
（文）若f(1)?0，试说明函数f(x)的单调性，并求使不等式
f(x2?tx)?f(4?x)?0恒成立的的取值范围．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点F(0,1)，直线m：y??1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且
yFOx????????????????QP?QF?FP?FQ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
m（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m?与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D(0,y0)，求y0的取值范围；
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（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，
c之间共插入n个数，使这n?3个数构成等差数列．
（1）若a?1，在b，c之间插入一个数，求q的值；
（2）设a?b?c，n?4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，个位于b，c之间，试比较s与的大小．
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数学理（参考答案）
一、填空题（每小题4分，共56分） 1．? 2。
14 3。（理）(0,1) 4。 5。?1 6.[?2,6] 7。4 2333 10。（理）? 658．（理）6 9。（理）11．（理）
51 12。（理）5 13。（理）2 14．（理） 65二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。B 17。D 18。（理）A （
三、解答题
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） （理）解：（1）因为AB?平面BCD，所以AB?CD，又BC?CD，所以CD?平面ABC， ?DAC就是AD与平面ABC所成的角． ………………2分 因为AB?平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30?，故?ADB?30?， 由AB?BC?2，得AD?4，AC?22， ………………4分 所以cos?DAC?AC2， ?AD2所以AD与平面ABC所成角的大小为45?． ………………6分
（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得BD?23，CD?22， 则VA?BCD?1142，………………8分 S?BCD?AB??BC?CD?AB?363VB?ACD?114S?ACD?d??AC?CD?d?d．………………10分 363由VA?BCD?VB?ACD，得d?2．
所以点B到平面ACD的距离为2．………………12分
（文）解：（1）由题意S表?2??2????2?AA1?24?，解得AA1?4. ………………2分
在△AOP中，OA?OP?2,?AOP?120，所以AP?23．
在△BOP中，OB?OP?2,?BOP?60，所以BP?2． ………………4分
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