高中数学课时跟踪训练十二实际问题中导数的意义北师大版选修2 - 2

课时跟踪训练(十二) 实际问题中导数的意义

1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )

A．7 m/s C．5 m/s

B．6 m/s D．8 m/s

2

2

2．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是( )

A．500 m/h C．400 m/h

B．1 000 m/h D．1 200 m/h

2

3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr，那么在r＝3时面积的变化率是( ) A．6 C．9π

B．9 D．6π

4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)132

关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t－4t＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )

3

A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移

5．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝______，其实际意义是______________________．

1232

6．某汽车的路程函数是s＝2t－gt(g＝10 m/s)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是

2________m/s.

7．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋＋(元)．

10100

(1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义．

2

xx2

1

8．江轮逆水上行300 km，水速为6 km/h，船相对于水的速度为x km/h，已知船航行时每小时的耗油量为0.01x L，即与船相对于水的速度的平方成正比．

(1)试写出江轮在此行程中耗油量y关于船相对于水的速度x的函数关系式：y＝f(x)； (2)求f′(36)，并解释它的实际意义(船的实际速度＝船相对水的速度－水速)．

答 案

1．选C s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5. 2．选C ∵h′＝－200t＋800，

∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)． 3．选D ∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π.

4．选C 由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 5．4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 6．解析：v(t)＝s′(t)＝6t－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g， ∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s)． 答案：14

7．解：(1)当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元． 此时总成本c关于产量x的平均变化率为

22

2

c?220?－c?200?86

220－200

＝＝4.3(元/件)，

20

它表示产量从x＝200件变化到x＝220件时，平均每件的成本为4.3元．

2

1x1

(2)c′(x)＝＋，于是c′(200)＝＋4＝4.1(元/件)．

105010

它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本． 8．解：(1)船的实际速度为(x－6)km/h，

300300×0.01x3x故全程用时 h，所以耗油量y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝＝x－6x－6x－6(x>6)．

2x?x－6?－x3x?x－12?

(2)f′(x)＝3·＝22，

?x－6??x－6?

2

2

2

f′(36)＝

3×36×?36－12??L?，

＝2.88??2

?36－6??km/h?

L

，也就km/h

f′(36)表示当船相对于水的速度为36 km/h时耗油量增加的速度为2.88

是说当船相对于水的速度为36 km/h时，船的航行速度每增加1 km/h，耗油量就要增加2.88 L.

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