GM(1,1)文献综述

企业运营管理专题结课论文

GM(1，1)模型及其优化综述

姓名：朱山丽 学号：14207016 专业：企业管理2014级 学院：信息与管理科学学院 日期：2014-12-28

GM(1，1)模型基本形式及优化

1基本模型构建

灰色预测GM(1，1)模型的建模过程是将无规律的原始数据进行累加，得到规律性较强的生成数列后进行建模，由生成模型得到的数据在进行累减得到原始数据的预测值，然后进行预测。

假设原始数列为

XX（0）?(X(0)(1),X(0)(2),,,X(0)(n))

异界累加生成新的序列 其中：

（1）?(X(1),X(2),,,X(n))

i(1)(1)(1)

X（1）(i)??Xk?1(0)(k),i?1,2,,,n

将原始数据累加后，弱化了原始数据的随机性，若将原始数据列

X（0）和一阶累加生成序

X（1）满足准光滑性检验

?(k)?准指数规律检验

?(k)?以及级比检验

XX(0)(k)（1）(k?1)?0.5

X(k)?[1,1.5] X(k?1)（1）(0)(1) ?(k)?XX则

(k)（0）(k?1)?(e?2n?1,,e)

2n?1X（1）序列具有指数增长的规律，即满足一阶线性微分方程

dXdt(1)?aX(1)?b （1）

式中，a称为发展灰数，反映数，反映了数据间的变化关系。

为了求解a和b，令???X（1）及原始序列

X（0）的发展趋势，b称为内生控制灰

(a,b)T为待估向量，由于分析的数列是离散的，将式（1）

中

dXdt(1)离散化，则有

令 其中，

dXdt(1)?X（1）(k)?X(k?1),k?2,3,,,n （2）

(1)(1)Z(1)(k)??X(k)?(1??)X(k?1)，k?2,3,,,n （3）

（1）Z（1）（0,1），?为权重系数。 (k)称为式（1）的背景值，?? 假定?的取值为0.5，则有

Z(1)(k)?X(1)（1）(k)?X(k?1) （4）

2(1)(1)此时，将式（1）离散化后，则有

X?（1）(k)?X(k?1)?aZ(k)?b,k?2,3,,,nT （5）

利用最小二乘法求解式（5）可得 其中

?（?BB）BY-1Tn （6）

1(1)(1)??((1)?(2))XX ?-??(2)12?Z(1)??1(1)(1)?(3)1????((2)?(3))ZXXB??2?????????(1)???Z(n)1????1(X(1)(N?1)?X(1)(n))??2（1）?1??（0）(2)???X(0)??X(3)?1???YN??????(0)???X(n)?? 1?

??求得a和b ，继续求解微分方程式（1），得到

（1）X?（1）?ce?at?b （7） a其中

X?为

X（1）序列的预测值，c为待定常数。

将式（7）离散化，则有

X?（1）（k?1）?ce?akb?,k?0,1,,,n?1 （8） a为求解常数c，需要事先选定一个初始值。假定

（1）X?（1）（1）?X（0）（1），则有

X?（1）?c?b?aX（0）（1） （9）

c?带入式（8）得

X（0）（1）-b aX?（1）b??akb?（0）（k?1）??X（1）-?e?,k?0,1,,,n?1 （10）

a?a?对式（10）作累减还原，便可得到原始数列

X（0）的灰色预测模型

X?（0）（k）?X?(1)(k)?X?(1)(k?1),k?2,3,,n （11）

2、四种基本形式

刘思峰等根据已有研究给出ＧＭ（１，１）模型４种基本形式的定义，包括均值ＧＭ（１，

１）模型（ＥＧＭ）、原始差分ＧＭ（１，１）模型（ＯＤＧＭ）、均值差分ＧＭ（１，１）模型（ＥＤＧＭ）和离散ＧＭ（１，１）模型（ＤＧＭ）； 其中EGM的时间响应式为

XX??（1）b??a（k?1）b?（0）（k）??X（1）-?e?,k?1,2,,,n

a?a?b?a（k?1）a(0)（k）?（1?e）(x(1)?)e,k?1,2,,,n

a（0）

DGM的时间响应式为

?（0）?k??2,k?1,2,,,n2???（k）??X（1）- X 1-??11-??1?1?（0）?（0）?k?1??2?X（??,k?1,2,,,n（k）?（??1）1）-1 X 1-??1?1??1-0.5ab,??其中，??

121?0.5a1?0.5a?（1）ODGM的时间响应式为

XX??（1）b?1b?（0）（k）??X（1）-?(?,k?1,2,,,n) aa??1?ab?1?（0）（k）?（-a）（1）-,k?1,2,,,n()X?? a??1?a?（1）kk（0）

EDGM的时间响应式为

Xb?（0）b?1-0.5a（k）??X（1）-?(?,k?1,2,,,n) aa??1?0.5ak

X?（0）-ab?1-0.5a?（0）（k）?（）（1）-,k?1,2,,,n（）X? 1?0.5a?a??k1?0.5a主要研究结论如下：

（１）GM(1，1)模型的４种基本形式：EGM、ODGM、EDGM、DGM两两相互等价。 （２）ＯＤＧＭ、ＥＤＧＭ 和ＤＧＭ 均能够精确模拟齐次指数序列。

（３）对于非指数增长序列和振荡序列，应首先选择微分、差分混合形态的ＥＧＭ。 （４）对于接近齐次指数序列的非指数增长序列和振荡序列，应优先选择离散形态的ＯＤＧＭ、ＥＤＧＭ 或ＤＧＭ

3 模型改进

GM(1，1)模型的改进方法也有很多种，如：

（1）新信息GM(1，1)模型,通过 不断地补充新出现的信息，即在预测下一时刻的值时，将最新的信息加入。此模型随着时间推移，序列长度会越来越长；

（2）新陈代谢GM(1，1)模型, 即新信息出现后，将老信息去掉，加入新信息，保持序列长度不变；

(3)残差GM(1，1)模型, 用序列的残差再次建立GM(1，1)模型，用残差GM(1，1)模型的预测值来对原始序列的预测结果进行修正；

(4)GM(1，1)模型群法, 用原始序列数据建立多个GM(1，1)模型，给出预测值的区间。 穆勇通过构建三个类型的无偏GM(1，1)模型（即UBGM(1，1)模型），对原始数据按无偏GM(1，1)直接建模法建立模型，得到模型的离散响应式为

X?（0）b?a（k?1）b(0)（k）?(x(1)?)e?,k?1,2,,,n

aa石斌、刘思峰等分别描述了UBGM(1，1)?X(1)(1)和UBGM(1，1)?X(n)模型，并令两

(1)种模型的初始值分别为

X?（1）(1)?c1,X?(1)?cn，然后分别考虑准则Ⅰ（选定c1,cn使得原

序列的一阶累加生成序列与其模拟值的误差平方和在最小二乘意义下最小）和准则Ⅱ（选定来确定待定常数c,c c,c使得原序列与其模拟值的误差平方和在最小二乘意义下最小）

1n1n

曾波、刘思峰等通过构建灰数核的定义，同时对灰单元格的面积构成序列，得到离散灰数预测模型的时间响应式为：

S?（1）k,j?(s1,j?b)aeaj?jj(k?1)?bajj。

姚天翔、刘思峰对离散GM(1，1)进行了数乘变换以及分段修正优化，使得模型得到优化。其中对原始序列进行数乘变换，变换下的参数性质可以降低矩阵的条件数而不改变模型的模拟值和模拟精度，为解决灰色预测模型的病态性提供了思路。分段修正离散G M(l , l) 模型。通过变换可以完全拟合多个等比序列构成的原始序列对于样本数目较多、样本数据属于多个周期的序列提高模拟精度具有重要意义。

张可、刘思峰通过引入线性时间项，构造时变参数离散灰色预测模型（称为TDGM(1，1)模型），进而研究该模型性质。结果表明：TDGM(1，1)模型具有白指数规律重合性、线性规律

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