2015年嘉定高三一模（文理） (2)

AA1中点G，联结EG，FG，则EG∥A1C， ???（1分）

所以，?FEG是异面直线A1C与EF所成的角（或其补角）， ????（2分）

（2）取

在△EFG中，EG?FG?2，EF?6， ?????????（4分）

?EG2?EF2?FG23所以，cos?FEG?，故?FEG?． ??（6分） ?62?EF?EG2?所以，异面直线A1C与EF所成角的大小为． ?????????（7分）

6

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设F(c,0)，直线AF的点方向式方程为令y?0，得x?xy?2?， ??????（2分）

233，即c?3， ???????????????（3分）

222由已知，a?2，所以b?a?c?1． ???????????????（5分）

x2?y2?1． ???????????????（6分） 所以椭圆E的方程为4（2）由题意，设直线l的方程为y?kx?2，

x2?y2?1，得(4k2?1)x2?16kx?12?0， ????（1分） 将y?kx?2代入4322当△?16(4k?3)?0，即k?时，直线l与椭圆E相交， ?????（2分）

416k12xx?设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1?x2?，， ???（3分） 124k2?14k2?1所以|PQ|?2(x1?x2)2?(y1?y2)2?(k2?1)(x1?x2)2?(k2?1)[(x1?x2)2?4x1x2]

??16k?248?4k2?12?(k?1)???2?4k?3， ??2??24k?1???4k?1?4k?1??144k2?3又点O到直线l的距离d?，所以△OPQ的面积S?|PQ|?d?． 2224k?1k?14t42设4k?3?t，则t?0，S?2， ??????（5分） ?t?4t?4t47因为t??4，所以S?1，当且仅当t?2，即k??时，S取最大值1．??（7分）

t27x?2． ?????（8分） 所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为y??22（直线方程用其他形式也可以）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

f(?x)?2?x?k?2x，

?xxx?x若f(x)是偶函数，则f(?x)?f(x)，即2?k?2?2?k?2， ????（1分）

x?x所以(k?1)(2?2)?0对任意实数x成立，所以k?1； ???????（2分）

（1）

6

?k?2x??2x?k?2?x，???（3分）

x?x所以(k?1)(2?2)?0对任意实数x成立，所以k??1。 ???????（4分） 综上，当k?1时，f(x)是偶函数；当k??1时，f(x)是奇函数；

当k??1时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 ???????????（5分） （2）当k?0时，若函数f(x)的图像是轴对称图形，且对称轴是直线x?m，

则函数f(m?x)是偶函数，即对任意实数x，f(m?x)?f(m?x)， ??????（1分）

若f(x)是奇函数，则f(?x)??f(x)，即2?x?k?2?(m?x)?2m?x?k?2?(m?x)，化简得(2x?2?x)(2m?k?2?m)?0， ?（3分）

1m?m?0，m?log2k． ??????（4分） 因为上式对任意x?R成立，所以2?k?221所以，函数f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是直线x?log2k． ????（5分）

24x?x（3）由f(x)?h(x)得，(a?1)?2?2?a?0，

342xx即(a?1)?2?a?2?1?0， ????????????????????（2分）

3故2此方程有且只有一个实数解．

令t?2，则t?0，问题转化为：方程(a?1)t?①当a?1时，t??②当a?1时，

(i) 若△?0，则a??3或若a?x2m?x4at?1?0有且只有一个正数根．（3分） 33，不合题意． ???????????????????（4分） 431，若a??3，则t?，符合题意； 423，则t??2，不合题意． ??????????????（6分） 43(ii) 若△?0，则a??3或a?，由题意，方程有一个正根和一个负根，

4?1?0，解得a?1． ??????????????（7分） 即

a?1综上，实数a的取值范围是{?3}?(1,??)． ??????????????（8分）

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （1）由已知，2bn由②可得an?12?an?an?1 ①，an?1?bnbn?1 ②， ????????（1分）

?bnbn?1 ③ ????????（2分）

*将③代入①，得对任意n?2，n?N，有2bn即2?bn?1bn?bnbn?1，

bn?bn?1?bn，所以，{bn}是等差数列． ?????????（4分）

25（2）设数列{bn}的公差为d，由a1?10，a2?15，得b1?，b2?18，??（1分）

2522所以，b1?，b2?32，d?b2?b1?， ?????????（2分）

22(n?4)25222所以bn?b1?(n?1)?d?．?（4分） ?(n?1)?(n?4)，bn?2222

7

(n?3)(n?4)，而a1?10也满足此式．??（5分）

2(n?3)(n?4)(n?4)2所以数列{an}、{bn}的通项公式为：an?，bn?． ???（6分）

22121??1（3）由（2），得??2???， ????????（1分）

an(n?3)(n?4)?n?3n?4???11??11?1??1??1?1则Sn?2????????????????2???， ????（2分）

4556n?3n?44n?4??????????由已知，当n?2时，an?bn?1bn?不等式2aSn?2?bn1?n?4?1化为4a??， ???????（3分） ??2?an4n?4n?3??2（以下有两种解法） 解法一：不等式化为(a?1)n?(3a?6)n?8?0， ???????????（4分）

*2设f(n)?(a?1)n?(3a?6)n?8，则f(n)?0对任意n?N恒成立． ???（5分） 当a?1?0，即a?1时，不满足条件． 当a?1?0，即a?1时，满足条件．

3(a?2)?0， 当a?1?0，即a?1时，函数f(n)图像的对称轴为直线x??2(a?1)15f(n)关于n递减，只需f(1)?4a?15?0，解得a?，故a?1． ????（8分）

4综上可得，a的取值范围是(??,1]．

3n?8n2?6n?8*a?1?n?N解法二：不等式化为a?对任意恒成立，即，?（5分） 22n?3nn?3n3n?83n?83n?8*设f(n)?2，任取n1、n2?N，且n1?n2，则f(n1)?f(n2)?21 ?22n?3nn1?3n1n2?3n2(n?n)[3nn?8(n1?n2)?24]?21212?0，故f(n)关于n递减． ????????（6分） 2(n1?3n1)(n2?3n2)3n?8?1对任意n?N*恒成立，所以a?1． 又f(n)?0且limf(n)?0，所以1?2n??n?3n因此，实数a的取值范围是(??,1]． ?????????（8分）

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