利润与销量之间的函数关系

学生课内论文：

利润与销量之间的函数关系

一、问题的提出：

收音机每台售价90元，成本为60元．厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，每台售价就降低1分（例某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01?200?2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元／台．

a)把每台的实际售价p表示为订购量x的函数； b)把利润Q表示成订购量x的函数；

c)当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？

扩展问题：

（1）商行订购多少厂家获利最多？

（2）为什么厂家定最低价为75元/台，这样定合适吗？ （3）最低价定多少最合适？

二、模型的假设：

1)、不考虑产品合格概率的大小；

2)、不考虑产品在运输过程中是否有所损坏； 3)、不考虑订购商终得合格产品个数;

4)、不考虑产品是否由厂家运送给客户过程运输费用的多少. 5）、不考虑产品的纳税的问题。

三、符号说明：

?:每台的实际售价.

X :订购

.

Q：利润.

X0 ：每台的实际售价75元时的订购量.

四、问题分析：

由题意：（1）当订购量x<100时，每台的实际售价p=90

（2）当订购量x0> x>100时，每台的实际售价p=90-(x-100)?0.01 （3）当订购量x> x0时，每台的实际售价p=75 （4）利润Q=px-60x=(p-60)x

五、问题解答：

求出x0： 解方程75=91-0.01x， 得x=1600

x0=1600

(1)问题的解答：

由以上分析得

90 x<100

1

?= 91-0.01x 1600>x>100

75 x>1600

(2)问题的解答：

由以上分析得 30x 0

Q= (31-0.01x)x

15x x>1600

(3)问题的解答：

当x=1000时，Q=(31-0.01?1000)?1000=21000 当一商行订购了1000台时，厂家可获利润21000元。

六、扩展问题

（1）作出函数Q(x)图像

求出Q(x)的极大值点x 1550 24025

（求极小值：FindMinimum[函数，{x，x0 }]：求函数在x0附近的极小值.） Q[x]

x

0

（2）由（1）知在可降价的情况下，当商行订购1500台时厂家获利最多，此时每台最多，

此时此时每台售价为

?=91-0.01*1550=75.5（元）

由此可知，若不考虑其他因素，当价格降到75.5元时，厂家获利最多，此后可不在

降价，若考虑到价格再降低一些，订购商可订购的量会最多，因此厂家定最低价为75元/台，这样定是有一定道理的。

（3）通过计算获利情况，厂家要保证订购量越多获利越多，可将最低价分两次定，当订

购量少于1602时最低价为75.5元/台，当订购量大于1601台时，最低价为75元/台。

七、模型的讨论

利润与销量之间的关系，不是说销售量多，厂家所获利润就会高；最高的利润是建立在合理的，销售价格与销售数量关系之间的。销售量的多少与销售时合理价位，终决定商家所获利的大小。由模型的建立与模型的解答，不难得除利润与销量之间的关系是销售量的多少与销售数量相最合理的价位的问题。

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数学建模竞赛论文：

抢渡长江路线选择

摘要：

本文针对2003年的全国大学生数学建模竞赛中的渡江问题进行了讨论分析，并结合实际情况给出了最佳渡河路线。我们首先对水流速度v(y)不作具体要求，建立

?dy?v0sin???dt微分方程?，经过对游渡者速度方向角?的讨论，确定?的选择分

dx??v(y)?v0cos???dt为三个阶段，开始时游渡速度方向角为?1，游渡到v(y)?v0时，游渡速度方向角改为?2，再游渡到v(y)?v0时游渡速度方向角改变为?3。由此可通过解微分方程，求

?3）得游渡路线和到达终点的时间Tt与游渡速度方向角（?1，的关系，用MATLAB?2，

求得Tt的最小值。其次，通过对模型的分析，游渡成功者应满足的游渡条件是：当

游渡速度v0?vmin(水流速度的最小值)时，游渡到对岸的横向位移x?xB(终点的横向位移)，才可游渡成功，从而可求得游渡者的最小速度v0。当终点的横向位移xB=4863.58m时，应用模型，求得可游渡成功者的最小速度v0。比较两个最小速度的值，可知横向位移xB越大，游渡成功的可能性越大。解释了为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别。

用我们所建立的数学模型对问题进行求解，得以下结论：

1．2002年第一名是沿着y=1.16x这条直线前进的，她游泳速度是1.54米/秒，方向是与x轴反向夹角62.54°。

2．游泳者始终以和岸边垂直的方向游，游泳速度必须达到2.19米/秒以上，他(她)们才有可能到达终点。

3．速度v0=1.5m/s时，根据问题中v(y)的不同分布情况，有以下结论：

（1）v(y)=1.89m/s，游渡者速度方向始终以58.1451度向河对岸游去，所用时间为910.46秒，游渡路线为直线。可游渡成功者的最小速度v0=1.4315m/s。当xB=4863.58m时，可游渡成功者的最小速度v0=0.43848m/s。

?1.47,?（2）v(y)??2.11,?1.47,??y?200200?y?960，游渡者速度方向先以53.956度游渡到960?y?1160纵坐标为200米，然后再以61.9282度游渡到纵坐标为960米，最后以53.9033度游渡到终点，所用时间为904.023秒，游渡路线为折线段。可游渡成功者的最小速度v0=1.3927m/s。当xB=4863.58m时，可游渡成功者的最小速度v0=0.4379m/s。

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?2.28?200y,?（3）v(y)??2.28,?2.28?(1160?y),200?0?y?200200?y?960，v0=1.5m/s，游渡者速度方960?y?1160向先以48.5940度游渡到纵坐标为131.5789米，然后再以66.3511度游渡到纵坐标

为1028.4211米，最后以48.6023度游渡到终点，所用时间为886.599秒，游渡路线为曲线段。经分析可知，无论游渡者游渡速度v0为多少，只要选择好合适游渡角度，就可成功到达终点。

4．据参阅江水流速v(y)的有关资料，设v(y)=8.2937y(y-1160)，v0=1.5m/s，游渡者速度方向先以54.237度游渡到纵坐标为185.6147米，然后再以68.675度游渡到纵坐标为974.3853米，最后以54.183度游渡到终点，所用时间为869.5966秒，游渡路线为曲线段。无论游渡者游渡速度v0为多少，只要选择好合适游渡角度，就可成功到达终点。

(5) 最后，我们给出了游渡速度在1m/s—2.2m/s的部分选手游渡方案表。并对模型进行了推广。

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一、问题的提出：

1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点.

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。

回答以下问题:

1．假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2．在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你

起点: 武昌汉阳门

长江水流方向

1160m 终点: 汉阳南岸咀 1000m 们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3．流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ：

?1.47米/秒，0米?y?200米? v(y)??2.11米/秒，200米?y?960米

?1.47米/秒，960米?y?1160米? 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

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