线性代数-二次型习题（一）

二次型习题

一．填空题

1． 二次型f(x1,x2,x3)?(a1x1?a2x2?a3x3)2的对应矩阵是_______。

322． 三阶矩阵A是实对称矩阵，且A?7A?16A?10E?0，则二次型XAX经正交

T变换可化为标准形为_________。

3． 若二次曲面x2?4y2?2z2?2txy?2xz?1是椭球面，则t的取值范围是_________。 4． 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?ax2?2x3)2?(2x2?3x3)2?(x1?3x2?ax3)2是正定二次型的充要条件是a必须满足__________。 二．选择题

?12?1???1． 已知A??a?b50?是正定矩阵，则

????10c???（A）a=1，b=2，c=1 （B）a=1，b=1，c=?1

（C）a=3，b=?1，c=2 （D）a=?1，b=3，c=8 [ ]

?110???2．已知矩阵A??110?，则与A既相似又合同的矩阵是

???002????1???2（A）?? ?2????1???1（C）?? ?0???T

?2???1（B）?? ?0????2???

2（D）?? ?0???

T

3．设二次型f?xAx经非奇异线形变换x=Cy化为f?yBy，则A与B必定 （A）相等 （B）相似 （C）合同

4．下列结论中不正确的是

?1（D）具有相同的特征值 [ ]

（A）A是正定矩阵，则A也是正定矩阵。

（B）若A，B都是正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。

（C）若二次型xAx半正定，则A=0。

（D）若A，B都是正定矩阵，则AB也是正定矩阵。 5．设A是n阶实对称矩阵，秩为r，符号差为s，则必有 （A）r是奇数，s是偶数。 （B）r是偶数，s是奇数。

（C）r，s均为偶数，不能是奇数。 （D）r，s或均为偶数，或均为奇数。 [ ] 三．解答题

1．已知二次型f(x1,x2,x3)?4x22?3x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3。写出二次型f的矩阵表达式。用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

22．（此题数学2-4不要求）二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x3?2ax2x3，已知?1?1是

T其一个特征值，试确定参数a，当f(x1,x2,x3)?1时，方程表示什么曲面？

23．求一个满秩线性变换矩阵，化二次型f?ax12?bx22?ax3?2cx1x3为标准形，并指出当

a，b，c满足什么条件时，f是正定二次型。

4．设A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB的特征值全大于零。

5．设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶方阵B，使AB?BA是正定矩阵。

6．证明：n阶实矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在n个线性无关的实向量

TT?i(i?1,2,?,n)，使得A??1T?1??2?2????n?n。

T

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