二级结论在解析几何中的作用
一 椭圆、双曲线的“垂径定理”
22xy1.（14浙江理）设直线x?3y?m?0(m?0)与双曲线2?2?1（a?b?0）两条渐近线ab分别交于点A,B，若点P(m,0)满足PA?PB,则该双曲线的离心率是__________.
x2y22. 已知点是椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点，过原点的直线交椭圆于点
ab直于轴，直线
3. 设动直线
与椭圆
交于不同的两点
交椭圆于点，PB?PA，则该椭圆的离心率__________.
，垂
与双曲线
交于不同的两点且则符合条件的直线共有______条.
4.已知某椭圆的焦点是点为
，且
过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交
.椭圆上不同的两点
满足条件：
成等差数列.
（1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦
的垂直平分线的方程为
，求的取值范围.
x2y25.（16四川）已知椭圆：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形
ab的三个顶点，点
在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直
线
与椭圆交于，证明：
1
二 圆锥曲线的共圆问题
y2?1在y轴正半轴上的焦点，过F6. （11全国）已知O为坐标原点，F为椭圆C:x?22????????????且斜率为-2的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
7. 已知抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为，直线Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
二 抛物线的性质
8. （14四川）已知F为抛物线y?x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
22
与轴的交点为，与C的交点为
????????，则?ABO与?AFO面积之和的最小值是（ ） OA?OB?2（其中O为坐标原点）
A、2 B、3 C、172 D、10 89.（15新课标）在直角坐标系点，
x2中，曲线C：y=与直线y?kx?a(a＞0)交与M,N两
4（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|?|FD|.当点A的横坐标为3时，?ADF为正三角形. （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E. （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）?ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
2
210. 点到点
三 椭圆、双曲线的性质
及直线的距离都相等，且这样的点只有一个，求值.
11. 已知两点F1(?1,0)及F2(1,0)，点P在以F且|PF1|、F2为焦点的椭圆C上，|F1F2|、|PF2|1、构成等差数列.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，
l My NN是直线l上的两点，且F1M?l，F2N?l.求四边形F1MNF2面
积S的最大值.
12.已知双曲线交于
13.双曲线的倾斜角分为
14. （10北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
四 中线长定理
的左右顶点分别为,且
点是第一象限内双曲线上的点，若直线，那么
，
两点，且满足
F1 OF2x的左焦点为，左准线与轴交于点，过点的直线与双曲线
，
，则的值为
1. 3x2y215. 设O为坐标原点，F1,F2是双曲线2?2?1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上
ab存在点P，满足∠F1PF2=60°，∣OP∣=7a,则该双曲线的渐近线方程为
x2y2?16. 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|4b2成等比数列，则b2=_________.
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