经典的微积分习题库 (2)

7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？举例说明。

?x2(x?1)8．设函数f(x)??为了使函数f(x)在x?1处连续可导，a，b应取什

?ax?b(x?1)么值？

29．求曲线y?sinx在x??及x??处的切线斜率。

310．求曲线y?x3上取横坐标为x1?1及x2?3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

1??xsin(x?0)x?012．证明函数数f(x)??在处连续，但不可导。 x?(x?0)?013．函数y?|sinx|在x?0处的导数是否存在，为什么？ 14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：

1?2?xsin(x?0)（1）f(x)??在点x?0处； x?(x?0)?0x?1（2）y?在点x?1处；

x?1（3）y?|x?2|在点x??2处。

习题2—2

1．求下列函数的导数： （1）y?ax2?bx?c； （4）y?x2cosx； （7）y?

（2）y?x2(2?x)； （5）?(?)??sin?； （8）s?（3）f(v)?(v?1)2(v?1)；

2（6）y?3ax?；

x（9）y?(2?sect)sint。

121?x?x2．求下列函数在指定点处的导数：

（1）f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0，求f?(0)，f?(1)；

；

1?sint；

1?sint

（2）y?x2sin(x?2)，求y?(2)。

3．求下列函数的导数（其中x，t是自变量，a,b是大于零的常数）： （1）y?1a2?x2； 11?x2（2）y?x2x2?a2；

（3）y?1?ln2x； （6）y?cosx2；

（4）y?tanx； 2（5）y?1?ex； ；（8）y?sin2（7）y?1?2x?xxcot； （9）y?sin2(2x?1)； 32（12）y?sinex2（10）y?sin1?x2； （11）y?cot31?x2；

?x?2；

6

1（13）y?cos2(cos2x)； （14）y?x2sin；

x（16）y?2x/lnx；

31??（15）y?1?tan?x??；

x??

（17）y?t3?3t （18）y?ln(1?x?2x?x2)；

（21）y?ln[ln(lnt)]；

（19）y?esinx；

1（22）y?arccos；

x（20）y?ln3(x2)；

（23）y?arccos1?3x； （24）y?xarctanx；

2（25）y?xarccosx?1?x （26）y?（28）y?arcsinarcsinx1?x2；

1??（27）y??arccos?e?x；

x??21?xarcsinx； （29）y?ln(arctan1?x2)；（30）y?； 1?xarccosxxxb?1??a??b??x?arcsinxx?y?（31）y?cos?；（32）；（33） arccosy?e?arctane??????；??bxa??????x??（34）y?e?sin21x； （35）y?ch(shx)； （38）y?arctan(thx)

（36）y?th(lnx)； （39）y?ln(chx)?（37）y?shxechx；

12ch2x。

4．求与曲线y?x2?5相切且通过点（1，2）的直线方程。 5．求曲线y?xlnx的平行于直线2x?2y?3?0的法线方程。 6．抛物线y?x2上哪一点的切线与直线3x?y?1?0交成45°角。

7．求过曲线y?e2x?x2上横坐标x?0的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。

dy8．设f(x)对x可导，求：

dx（1）y?f(x2)； （2）y?f(ex)ef(x)；

（3）y?f[f(x)]

（4）y?f(sin2x)?f(cos2x)。

习题2—3

1．求下列函数的二阶导数： （1）y?xcosx； （4）y?tanx； （7）y?lnsinx；

（2）y?a?x；

222x3?x?4（3）y?；

xx（5）y?(1?x2)arctanx； （6）y?e；

（8）y?sinx?sin2x?sin3x；（9）y?ln(x?x2?a2)。

2．验证函数y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数）满足关系式y????2y?0。 3．验证函数y?exsinx满足关系式y???2y??2y?0。

4．求下列函数的高阶导数： （1）y?x2e2x，求y(20)；

（2）y?x2sin2x，求y(50)。

7

5．若f??(x)存在，求下列函数y的二阶导数（1）y?f(x2)

d2ydx2：

（3）y?ln[f(x)]。

（2）y?f(sin2x)；

dx1d2xy?????6．试从导出。 23dyy??dy(y)

习题2—4

dy： dx（1）x2?y2?R2； （2）x2?xy?y2?a2； 1．求下列方程所确定的隐函数y的导数（4）xy?yx

（5）xcosy?sin(x?y)；

（3）xy?ex?y；

y（6）arctan?lnx2?y2。

x（3）y?1xx2．利用对数求导法求下列函数的导数： （1）y?2xx；

cosx（2）y?(lnx)；

x ；

（4）y?(sinx)3x?2； （5）y?；

(5?2x)(x?1)（6）y?3x(x2?1)(x?1)2。

3．求圆(x?1)2?(y?3)2?17过点（2，1）的切线方程。 4．设y?sin(x?y)，求y??。 5．设s?1?tes，求st??。

?x?t2dyd2y,6．已知?， 求 。 2dxdxy?4t?3?dyd2y?x?acost,7．已知星形线?， 求 。 23dxdx??y?asint?x?a(??sin?)dyd2y,8．已知摆线?，求 。 2dxy?a(1?cos?)dx?9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：

3at?x???x?acos???1?t2（1）?，在??处； （2）?，在t?2处。 2y?bsin?4??y?3at?1?t2?2??x?1?2t?t10．已知质点运动方程为?

2??y?4t（1）求质点出发时所在的位置；

（2）t?2秒时的水平与铅直方向的速度； （3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。

8

t??x?esint11．验证参量方程?，

t??y?ecost所确定的函数y满足关系式

?dy?2(x?y)?2x?y??。 dx2?dx?12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？

13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？

d2y14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：

（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？ （2）它的下端离开墙脚1.4米时，梯子上端下滑的速率是多少？ （3）何时它的上端下滑的速率为4米/秒？

习题2—5

1．求下列函数的微分 （1）y?5x2?3x?1；

（2）y?(x2?2x)(x?4)；

（3）y?arcsin(2x2?1)；

（4）y?2ln2x?x； （5）y?ln(sect?tant)；

2．求下列函数在指定点的微分：

?21（1）y?arcsinx，在x?和x?时(|?|?2)；

22x（2）y?，在x?0和x?1处。 21?x3．求下列函数在指定条件下的微分：

1?61?（1）y?x2?x,x?10,?x?0.1； （2）y?，当从变到时。 x23606(tanx?1)4．若函数y?x2?1，

（1）在x?1处，?x?0.01，试计算dy,?y及?y?dy；

（2）将点x处的微分dy，增量?y和?y?dy在函数图形上标出。 5．填空：

11)?2xdx； （1）d(（2）d(（3）d()?dx )?2dx；

xxdx)?)?sin2xdx； （4）d(（6）d( )?e?xdx； （5）d(2x（7）d(

)?exdx2?(2（8）d(sinx?cosx)?d()dx；)?d(cosx)?()dx。

9

习题3—1

??5????5??1．验证F(x)?lnsinx在?,上满足Rolle定理的条件，并在?,?上，找出使??66??66?f?(?)?0的?。

2．以定义在[1，3]上的函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)为例，说明Rolle定理是正确的。

3．已知函数f(x)?1?3x2,f(?1)?f(1)，但在[-1，1]没有导数为零的点，这与Rolle定理是否矛盾？为什么？

4．验证函数f(x)?arctanx在[0，1]上满足Lagrange中值定理的条件，并在区间（0，1）内找出使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)成立的?。

15．当ab?0时，对于函数f(x)?在（a，b）上能否找到满足有限增量公式的?点？

x这与Lagrange中值定理是否矛盾？

6．不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数，说明方程f?(x)?0有几个实根？并指出它们所在的区间。

7．证明恒等式：arcsinx?arccosx??28．若方程anxn?an?1xn?1???a1x?0有一个正根x?x0，证明：方程annxn?1?an?1(n?1)xn?2???a1?0必有一个小于x0的正根。

9．若函数f(x)在(a,b)上具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)其中，a?x1?x2?x3?b，证明：在（x1,x3）上至少有一点?，使得f??(?)?0。

12．证明下列不等式：

（1）|sinx2?sinx1|?|x2?x1|； （2）|arctanx2?arctanx1|?|x2?x1|；

（3）当x?1时，ex?ex。

(?1?x?1)。

习题3—2

1．求下列各题的极限：

3x?3aln(1?x)(a?0)； （1）lim； （2）limx?ax?ax?0x2ex?e?x（4）lim； （5）limx2e1/x；

x?0sinxx?01??xlim?（7）lim；（8）lnx?ln(x?1)??； x?1?x?1lnx?x?1?（3）lim?x?0lnsin3x；

lnsinx1??ln?1??x?（6）lim?；

x???arccotxxsinx； （9）lim?x?0xn?sinx??1?lim(a?1,n?0)（10）lim； （11）； （12）lim????。 x???axx?0?x?x?0??x?x?sinx2．验证lim存在，但不能用L?Hospital法则计算。

x???x?cosx

10

tanxx3

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新幼儿教育经典的微积分习题库 (2)全文阅读和word下载服务。