信阳市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷（理科）（含解析）

2017-2018学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（ ） A．sin1+cos1 B．cos1 C．sin1 D．sin1﹣cos1 2．设随机变量ξ～N（μ，σ2） ，且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ）

A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数

C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数 4．若AA．6

=8CB．7

，则n的值为（ ） C．8

D．9

=（ ）

5．在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），则A．﹣﹣i B．﹣﹣i C． +i D． +i 6．A．第5项

展开式中的常数项为（ ） B．第6项

C．第5项或第6项

D．不存在

7．已知△ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则△ABC的面积为cr．运用类比推理可知，若三棱椎D﹣ABC的表面积为6为（ ） A．

B．

C．3

D．2

，内切球的半径为，则三棱锥D﹣ABC的体积

8．小张、小王、小李三名大学生到三个城市去实习，每人只去一个城市，设事件A为“三

个人去的城市都不同”事件B为“小张单独去了一个城市”，则P（A|B）=（ ） A．

B．

C．

D．

9．若函数f（x）=x3﹣ax2﹣ax在区间（0，1）内只有极小值，则实数a的取值范围是（ ） A．B．C．（0，+∞） （1，+∞） （0，1） D．（0，2） 10．甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

11．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）

A．C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） （﹣1，0）∪（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）

12．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1=++，1=+++法可得1=++

+++

+

+

+

+

+

，1=++++

+

++

，…，依此拆分，其中m，n∈N*，

则m﹣n=（ ）

A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8

二、填空题(每题5分，共20分)

13．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，8），其回归直线方程是

=x+

，且x1+x2+x3+…+x8=3（y1+y2+y3+…+y8）=6，则

= ．

14．某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为 （用数字作答）． 15．（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ= ．

16．已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为 ．

三、解答题

17．已知复数z=k﹣2i（k∈R）的共轭复数，且z﹣（﹣i）=﹣2i．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）若过点（0，﹣2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=以及y轴所围成的图形的面积．

18．为研究心理健康与是否是留守儿童的关系，某小学在本校四年级学生中抽取了一个110人的样本，其中留守儿童有40人，非留守儿童有70人，对他们进行了心理测试，并绘制了如图的等高条形图，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为心理健康与是否是留守儿童有关系？ 参考数据： P（K2 0.50 ＞k） k K2=

0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 （n=a+b+c+d）

19．已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的极值；

（Ⅱ）试比较20182018与20182018的大小，并说明理由．

20．甲、乙、丙三人准备报考某大学，假设甲考上的概率为，甲，丙两都考不上的概率为，乙，丙两都考上的概率为

，且三人能否考上相互独立．

（Ⅰ）求乙、丙两人各自考上的概率；

（Ⅱ）设X表示甲、乙、丙三人中考上的人数与没考上的人数之差的绝对值，求X的分布列与数学期望．

21．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，设数列{an}的通项公式为an=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2（2n﹣1）]． （Ⅰ）求a1?a2?a3的值；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得an=（n﹣2）?2n+a（n∈N*），并说明理由． 22．已知函数f（x）=ex+ax+b（a≠0，b≠0）． （Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2，求f（x）在区间[﹣2，1]上的最值；

（Ⅱ）若a=﹣b，试讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上零点的个数．

2017-2018学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（ ） A．sin1+cos1 B．cos1 C．sin1 D．sin1﹣cos1 【考点】导数的运算．

【分析】先求出函数的导数 f′（x）的解析式，再把x=1代入f′（x）的解析式运算求得结果．

【解答】解：∵函数f（x）=sin1﹣cosx， ∴f′（x）=sinx， ∴f'（1）=sin1， 故选：C

2．设随机变量ξ～N（μ，σ2） ，且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，到曲线关于x=0.5对称，利用P（ξ＞2）=0.3，根据概率的性质得到结果． 【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3， ∴曲线关于x=0.5对称， ∵P（ξ＞2）=0.3，

∴P（ξ＜2μ+1）=P（ξ＜2）=0.7， 故选：D．

3．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（ ）

A．a，b，c，d中至少有一个正数 B．a，b，c，d全为正数

C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数 【考点】反证法．

【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．

【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”， 由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”， 故选C． 4．若AA．6

=8CB．7

，则n的值为（ ） C．8

D．9

【考点】排列及排列数公式．

【分析】根据排列与组合的公式，列出方程，求出解即可． 【解答】解：∵An3=8Cn2，

∴n（n﹣1）（n﹣2）=8×即n﹣2=4； 解得n=6． 故选：A．

，

5．在复平面内，若复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），则A．﹣﹣i B．﹣﹣i C． +i D． +i

=（ ）

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1），得z1=﹣2﹣i，z2=i，然后把z1，z2的值代入

，再由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．

【解答】解：由复数z1和z2对应的点分别是A（﹣2，﹣1）和B（0，1）， 得z1=﹣2﹣i，z2=i． 则

=

=

．

故选：A． 6．A．第5项

展开式中的常数项为（ ） B．第6项

D．不存在

C．第5项或第6项

【考点】二项式系数的性质． 【分析】根据题意，写出由项数与r的关系，可得答案． 【解答】解：根据题意，

10﹣2r

展开式中的通项为Tr+1，令x的指数为0，可得r的值，

展开式中的通项为Tr+1=C10r（x）10﹣r（）r=C10r（x）

，

令10﹣2r=0，可得r=5； 则其常数项为第5+1=6项； 故选B．

7．已知△ABC的周长为c，它的内切圆半径为r，则△ABC的面积为cr．运用类比推理可知，若三棱椎D﹣ABC的表面积为6为（ ） A．

B．

C．3

D．2

，内切球的半径为，则三棱锥D﹣ABC的体积

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