实验教学大纲

《数值线性代数》课程实验教学大纲

课程代码： INCS2101 大纲执笔人：陈中文 课程名称： 数值线性代数 大纲审批人： 英文名称： Numerical Linear Algebra

课程学时： 72 实验学时：18 实验室名称：数学实验室 实验课性质：独立设课

适用专业： 信息与计算科学、理科基地

一、本课程实验教学目的与要求

结合《数值线性代数》课程的学习，经过在计算机上实验，使学生能将数值线性代数中常用的算法在计算机上实现，能检验各种数值代数算法的收敛性和在计算机上实现的可行性，认识到选择数值方法的重要性，学会经过数值代数实验寻求实用而有效算法的本领，提高解决实际工程计算问题的能力。

二、主要仪器设备及现有台套数

计算机，140台

三、实验课程内容和学时分配

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

实验项目名称 不选与列选主元Gauss消去法 目的要求 通过比较分析计算结果，认识选择算法的重要性。 学时 实验 每组 必开 分配 类型 人数 选开 2 2 2 2 2 2 2 2 2 基础 基础 基础 基础 综合 综合 综合 基础 基础 1 1 1 1 1 1 1 1 1 必开 必开 必开 必开 必开 必开 必开 必开 选开 平方根法与改进平方根法 分析计算结果，评论方法的优劣。 估计Hilbert矩阵条件数 结合实验二，重新认识病态问题。 QR法解线性方程组 房产估阶模型 掌握矩阵的正交分解。 QR法求解最小二乘问题 Jacobi,Gauss-Seidel法 认识线性方程组古典迭代解法的收敛性，收敛速度。 SOR法解线性方程组 理解松弛因子对算法收敛的重要性。 最速下降法与共轭梯度法 比较两种方法的优劣，了解共轭梯度法再开始特性。 实对称三对角矩阵的特征值与特征向量 了解二分法求指定的特征值与特征向量。 四：实验项目的内容和要求

实验一

实验项目名称：不选与列选主元Gauss消去法 实验内容：用你熟悉的计算机语言将不选和列选主元Gauss消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下面的84阶方程组

?61??861?????x1??7???x?????2???15?,

861????????????86??x84??14?最后，将你的计算结果与方程组的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss消去法的看法。 实验要求：上（下）三角形方程组的解法步骤；Gauss消去法的计算步骤；列主元Gauss消去法的计算步骤；存储单元、变量名称说明；系数矩阵和右端项的生成；结果分析。

实验二

实验项目名称：平方根法与改进平方根法 实验内容：先用你熟悉的计算机语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组Ax=b, 其中，

?101???1101???A???

??1101???110???100?100B随机生成，比较计算结果，评论方法优劣。

实验要求：平方根法与改进的平方根的解法步骤；存储单元、变量名称说明；系数矩阵和右端项的生成；结果分析。

实验三

实验项目名称：估计Hilbert矩阵条件数

实验内容：使用线性方程组法或优化法估计5到20阶Hilbert矩阵的条件数。 实验要求：写出所使用的方法步骤或框图；存储单元、变量名称说明；Hilbert矩阵的生成；结果分析。

实验四

实验项目名称： QR法解线性方程组

实验内容：用你熟悉的计算机语言编写利用QR分解求解线性方程组和线性最小二乘法的通用子程序，然后用你编写的程序完成下面两个实验任务.

(1) 求解实验一的方程组,并将计算结果与前面的结果比较,说明各方法的优劣; (2) 求一个二次多项式y?at2?bt?c使得在残向量的2范数最小的意义下拟合下面数据:

t -1 -.075 -0.5 0 0.25 0.5 0.75 y 1.00 0.8125 0.75 1.00 1.3125 1.75 2.3125

实验要求：写出一种QR分解具体实现方式;说明求解方程组的计算步骤; 存储单元、变量名称说明；结果分析。

实验五

实验项目名称： 房产估阶模型 实验内容：在房产估阶的线性模型

y?x0?a1x1?a2x2???a11x11

中,a1,a2,?,a11分别表示税、浴室数目、占地面积、居住面积、车库数目、房屋数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y代表房屋价格，根据所给的统计数据，估计模型中的参数。

实验要求：正交化方法求解最小二乘问题的计算步骤; 存储单元、变量名称说明；结果解释（思考：模型的可靠性分析）。

实验六

实验项目名称： Jacobi,Gauss-Seidel法 实验内容：考虑两点边值问题

?d2ydy?a,0?a?1,??2? dx?dx?y(0)?0,y(1)?1.?为了把微分方程离散，把[0,1]区间n等分，令h=1/n,

xi?ih,i?1,2,?,n?1.

得到差分方程

(??h)yi?1?(2??h)yi??yi?1?ah2.

对??1,a?0.5,n?100,分别用Jacobi,Gauss-Seidel迭代法求解，要求有四位有效数

字，然后比较与精确解的误差。

实验要求：详细推导离散化后的线性方程组；写出Jacobi,Gauss-Seidel迭代法计算步骤；存储单元、变量名称说明；结果分析。

实验七

实验项目名称： SOQ法解线性方程组

实验内容：利用SOQ法求解实验六的线性方程组，尝试不同的松弛因子，观察计算效果；并分别取??0.1,0.01,0.0001,进行同样的实验。

实验要求：写出SOQ法求解线性方程组的步骤；存储单元、变量名称说明；结果分析。

实验八

实验项目名称：最速下降法与共轭梯度法

实验内容：先用你熟悉的计算机语言将最速下降法与共轭梯度法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解实验二中的问题。

实验要求：写出最速下降法与共轭梯度法的计算步骤；存储单元、变量名称说明；结果分析。

实验九

实验项目名称：实对称三对角矩阵的特征值与特征向量

实验内容：用你所熟悉的计算机语言编制利用二分法求实对称三对角矩阵指定的特征值

与特征向量的通用子程序，并进而求如下矩阵

?2?1????12?1???A???

???12?1????12???100?100的最大和最小特征值及对应的特征向量。 实验要求：写出二分法求实对称三对角矩阵指定的特征值与特征向量的计算步骤；存储单元、变量名称说明。

五、考核方式

1、实验报告：按照实验报告格式撰写实验报告。

2、考核方式：每次实验内容与结果以作业形式递交，占课程总成绩的10%。

六、实验教材、参考书

教材： 徐树方，《数值线性代数》，北京大学出版社，2007年 参考书：

1. 2. 3. 4. 5. 6. Matlab与数学实验，周本虎，中国林业出版社，2007.

应用数值线性代数，James W.Demmel著, 王国荣译，人民邮电出版社，2007. 矩阵计算，G.H.格罗布，C.F.万罗安 著(美)，霍布金斯大学出版社，2009. 线性代数计算方法，蒋长锦编，中国科学技术大学，2003. 数值代数，张凯院，徐仲 编著，科学出版社，2007，第二版. 矩阵计算, 蒋尔雄, 科学出版社, 2008.

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