复积分计算总结

复积分的计算方法

孟小云 20072115025

（数学科学学院 数学与应用数学专业 2007级3班）

指导老师 海泉

摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。 关键词：复变函数；复积分

在复变函数的分析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。 方法1：参数方程法

定理：设光滑曲线c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (??t??),z'(t)在[?,?]上连续，且z'(t)?0，又设f(z)沿c连续，则?f(z)dz?c???f[z(t)]z(t)dt。

'1、若曲线c为直线段，先求出c的参数方程。

c为过z1,z2两点的直线段，c：z?z1?(z2?z1)t,t?[0,1],z1为始点,z2为终点。 例1 计算积分?Rezdz，路径为直线段.

?1?解：设z??1?(i?1)t?(t?1)?it,t?[0,1], 原式=?(t?1)idt?(t?t)2011102??i2

2、若曲线ｃ为圆周或圆周的一部分，例如c为以a为心Ｒ为半径的圆。 设c：z?a?R,即z?a?Rei?,??[0,2?],（曲线的正方向为逆时针） 例2 计算积分?zdz,c为从－１到１的下半单位圆周.

c解：设z?ei?,dz??ei?d?,??[??,0] 原式???ie?0i?d????i(cos??isin?)d??0?2

注：上述方法只适用于积分曲线式特殊类型的曲线。 方法2：利用柯西积分定理

柯西积分定理：设函数f(z)在复平面上的单连通区域D内解析，c为D内任一条周线，则?f(z)dz?0

c例3 计算

?dzcz?2z?222,cdz为单位圆周z?1.

的解析区域内的一闭曲线，由柯西定理有

解：z?1是f(z)?z?2z?2?dzcz?2z?22?0

注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单。

1、柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。 例4 计算?解；?c22z?1cz?zdz?2dz的值，c(1z?1z?1为包含圆周z?1的任何正向简单闭曲线.

c内且互不

2z?1z?z?c)dz,分别以z?0,z?1为心作两完全含于1z1)dz?相交的圆周c1,c2,则有原式＝?(?c1 ＝?1c1zdz??c1c2z?1z11dz??dz?c2z?1z?(1?1z?11c2)dzdz

?z?1 ＝ 2?i?0?0?2?i?4?i

2、若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿—莱布尼茨公式计算。 例5 计算??2?i?2(z?2)dz.

2解：因为f(z)?(z?2)2在复平面上处处解析，所以积分与路径无关。 原式=??2?i?2(z?4z?4)dz?213z?2z?4z32?2?i?2??i3

注：利用柯西积分定理也有一定的局部性，主要体现在被积函数上，只有某些特

殊的函数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便。 方法3：利用柯西积分公式

1、柯西积分公式：设区域D的边界是周线（复周线）c，函数f(z)在D内解析，在D?D?c内连续，则f(z)?z?2?i1f(?)c??zd? (z?D)

例6 计算?ec2z?1z，其中ｃ为圆周z?2.

解：因被积函数的两个奇点是i,?i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互

ezez不相交的圆周c1,c2 原式=? =2?iezz?iec12zz?1dz?z?ec22zz?1idz??c1z?idz?z?i?c2z?idzz?i

z?i?2?iez?iz??i??(e?e)

?i此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比单独应用柯西积分定理容易方便得地多。

2、柯西积分公式解决的是形如

f(?)c?f(?)c??zd?,(z?D)的积分，那形如

?(??z)nd?,(z?D)的积分怎样计算呢？

利用解析函数的无穷可微性f(n)(z)?此问题。 例7 计算?ec2z2?2?in!f(?)c(??z)n?1d?,(z?D)(n?1,2,?)可解决

(z?1)dz,c为z?2.

解：因被积函数的两个奇点是i,?i,分别以这两点为心作两个完全含于c而且互

ez22edz?z22不相交的圆周c1,c2 原式=?ec12z2(z?1)dz??ec22z2(z?1)dz??(z?i)c1(z?i)?(z?i)c2(z?i)dz

?2?i[ez(z?i)]?2z?i?2?i[ez(z?i)]?2z??i??2(1?i)(e?ie)

i?i注：柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合。 方法4：利用柯西留数定理

柯西留数定理：f(z)在周线（复周线）c所围区域D内除a1,a2,?,an外解析，

n在闭区域D?D?c上除a1,a2,?,an外连续，则?f(z)dz?2?i?Resf(z)

ck?1z?ak例8 计算?解：f(z)?5z?2z?2z(z?1)2dz.

?5z?2z?2z(z?1)2dz，在圆周z?2内有一阶极点z=0,二阶极点ｚ＝１

Resf(z)?z?05z?2(z?1)2z?0??2 Resf(z)?(z?15z?2z)?z?1?2

由留数定理原式＝2?i(Resf(z)?Resf(z))?2?i(2?2)?0

z?1z?0方法5：借助于沿封闭曲线的复积分

当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构造封闭曲线，首先计算沿封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分。 例9 计算?1czdz，其中c是以(1,0)为起点、(2,0)为终点的光滑曲线.

1z分析：构造封闭曲线 c0?c?BA，易求F(z)?分的性质求原复积分。

沿c0的复积分，利用复积

解：设c0?c?BA，其中BA是以B(2,0)为起点，A(1,0)为终点的直线段，参数方程是z=x,

x是由2变到1，所以?设f(z)?1，则?c由于?1BA1c0zc0dz?1z?0?1czdz??1BAzdz

10zdz??dz?2?if(0)?2?izdz??121xdx?lnx12??ln2

所以?1czdz??1c0zdz??1BAzdz?2?i?(?ln2)?2?i?ln2

方法6：利用积分换元公式

关于复积分的变量替换，与定积分的变量替换类似，要求变换是一对一的且可微。 设w?f(z)在区域D内单叶解析，c是D内一条简单光滑曲线：z?z(t),??t??,那么

(1)在变换w?f(z)之下，c的像?也是W平面上一条简单光滑曲线； (2)若函数?(w)沿?连续，则有积分换元公式??(w)dw?????(f(z))f?(z)dz

例10 计算积分?2zdzcz?6z?142，c:z?2ei?,0????.

解：令w?f(z)?z2，它在上半平面单叶解析，把半圆c变成圆?:w?4ei2?，

0????

即w?4，由换元公式得I?因?(w)?dww?6w?12?dwcw?6w?12

?1[w?(?3?22)][w?(?3?22)]在围线?内仅有一个一阶极点w??3?22，

Res?(w)?w??3?221w?3?22w??3?22?142 由留数定理：I?2?i?142??i22

注：对非单叶的变换，使用换元公式要特别小心，这时简单曲线c的像?不再是简单曲线，但可把它分为几段简单曲线之和，即化为局部单叶变换的情形来处理。 例11 计算积分J??2zdzcz?6z?142，c:z?2.

解：令w?z2，则c:z?2ei?，0???2?的像曲线为双重圆?:w?4ei2?，

0???2?

把?分解为两个单圆：???1??2，?1:w?4ei?，0???2?，

?2:w?4e,2????4?；

i?

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