复积分计算总结 (2)

i?i?它们分别对应于原像c之两段：c1:z?2e,0????,c2:z?2e,0???2?,分段利

用积分换元公式得

?2zdzcz?6z?142??2zdzc1z?6z?142??2zdzc2z?6z?142???dw1w?6w?12???dw2w?6w?12

?2?dww?4w?6w?12?2I??i2

方法7：积分估值法

积分估值：若沿曲线c，函数f(z)连续，且有正数M使f(z)?M，L为c长，则

?cf(z)dz?ML

f(z)z?R例12 设f(z)在复平面上解析，且有界，求极限lim常数(a?b)，由此证明刘维尔定理.

R???(z?a)(z?b)dz，a,b为

解：?a,b,且(a?b),则对于充分大的R，总可以使a,b位于圆z?R内，于是，在圆z?R上z?a?z?a?R?a，z?b?R?b，因f(z)?M，固有

?f(z)z?R(z?a)(z?b)dz??f(z)z?Rz?az?bdz?M(R?a)(R?b)2?R

所以 limR???f(z)z?R(z?a)(z?b)f(z) dz?0 （1）

1b?af(z)z?bf(z)z?a2?ib?a另一方面?z?R(z?a)(z?b)dz??z?R[?]dz?（2） [f(b)?f(a)]

综合（1）和（2）得f(a)?f(b)，特别取a?0有f(b)?f(0)，由b的任意性，知f(z)在z平面上必为常数。

以上计算方法在复积分计算中是经常使用的方法，比较简单普遍，在复积分计算时很容易想到。下面介绍一些不常用的，且带有一定技巧性的方法。 方法8：级数法

?连续性逐项积分定理：设fn(z)在曲线c上连续(1,2,3,?)，?fn(z)在c上一致

n?1收敛于fn(z)，则fn(z)在曲线c上连续，并且沿c可逐项积分：

???cfn(z)dz?n?1?cfnz(dz)，将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积分

的有关问题。

例13 计算积分?(?zn)dz,c:z?cn??1?12.

解：在z??12?内，?zn?n??11z?11?z

所以?(?zn)dz?cn??1?c(1z?11?z)dz?2?i?0?2?i

方法9：拉普拉斯变换法

定义：设f(t)是定义在[0,??]上的实值函数或复值函数，如果含复变量

p???is（?,s为实数）的积分???0f(t)e?ptdt在p的某个区域内存在，则由此积

分定义的复函数F(p)????0f(t)e?ptdt，称为函数f(t)的拉普拉斯变换法（简称拉

氏变换），简记为F(p)?L[f(t)]

计算该类复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则，将该类复积分化为

F(p)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分的结果。

??0例14 计算积分?解：令f(az)?1a?zcos12aze?pzdz.

1a?zcos1a12azF(pa，则L[f(az)]?)

???01a?zcos12aze?pzdz

由相似定理有L[f(az)]?由拉普拉斯变换表得F()?a1a?z12azp1pa1ae?pacospa 所以???0cose?pzdz?F(pa)?1apae?pacospa 方法10：运用对数留数定理与辐角原理

具有以下形式的积分

?2?i1f?(z)cf(z)dz称为f(z)关于曲线c的对数留数。

1.对数留数定理：如果f(z)在简单曲线c上解析且不为零，在c的内部除去有限个极点外也处处解析，则

?2?i1f?(z)cf(z)dz=N?P.其中N为f(z)在c内零点的

总个数，P为f(z)在c内极点的总个数，且c取正向。在计算零点与极点的个数时，m阶的零点或极点算作m个零点或极点。

2.辐角原理：如果f(z)在简单闭曲线c上与c内解析，且在c上不等于零，则f(z)在c内零点的个数等于量，即N?12??c?Argf(z).

12?乘以当z沿c的正向绕行一周时f(z)辐角变

例15 计算积分?f?(z)z?5f(z)，其中f(z)?dz，

sinz(z?1)(1?e)?zz522.

解：f(z)在z?5上解析且不等于零。又f(z)在z?5的内部解析，零点个数

N?1?2?3，极点个数P?5?2?7

由对数留数定理有?f?(z)z?5f(z)dz?2?i(N?P)?2?i(3?7)??8?i

总结：以上总共给了计算复积分的10种方法，其中一些是常见的最基本的方法。级数法、拉普拉斯变换法、运用对数留数与辐角原理是对常用复积分计算方法的补充，具有一定的技巧，文中以例题说明了其具体运用的巧妙和简捷之处。可见灵活运用这些计算技巧，可以使繁琐的积分过程得以简化，为解决实际问题提供了一条便捷之路。

参考文献：

[1]钟玉泉，复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004，2. [2]潘永亮，复变函数[M].北京：科学出版社，2004.

[3]龚冬宝，复变函数典型题[M].西安：西安交通大学出版社，2003.

[4]刚家泰，复变函数全程学习指导与解题能力训练[M].大连：大连理工大学出版社，2002.

[5]余家荣，复变函数[M].北京人民大学出版社，1979.

[6]严镇军，数学物理方法[M].合肥：中国科技大学出版社，1999. [7]钟玉泉，复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，1995.

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