微分方程零解的稳定性

微分方程零解的稳定性

中文摘要

本文利用线性近似稳定性方法及李雅普诺夫第二方法，分别讨论了几类微分方程（组）的零解的稳定性。由于构造合适的李雅普诺夫第二函数，即V函数是李雅普诺夫第二方法的关键，因此我们介绍了一类构造V函数的特殊方法，即微分矩法，并将所得的结果应用于具体实例。

关键词：微分方程；稳定性；线性近似稳定性方法；李雅普诺夫第二方法；微

分矩法

Abstract

Utilizing methods of linearization and Lyapunov second method, the stabilities of solutions for some kinds of ordinary differential equations are analyzed in this paper. Because constructing V functions is the key of Lyapunov second method, we introduce a special method, that is differential moment method, to deal with this problem, and we take it as an approach to solve the stabilities of solutions for some differential equations.

Key words: Differential equations; Stability; Methods of linearization; Lyapunov second method; Differential moment method.

目录

第一章 前言.......................................................................................................... 1

第二章 相关引理...................................................................................................... 2

第三章 几类微分方程零解的稳定性分析................................................................ 5

§3.1 按线性近似决定微分方程组零解的稳定性......................................... 5

§3.2 V函数法................................................................................................. 7

§3.3 微分矩法构造V函数............................................................................. 8

第四章 总结.............................................................................................................. 12

参考文献...................................................................................................................... 13

致谢.............................................................................................................................. 13

第一章 前言

众所周知，Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。1892年，伟大的俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)(1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。 线性近似稳定性方法是一种十分重要而且广泛使用的线性化方法，它是通过分析非线性系统的线性近似系统的特征值分布来判别原非线性系统的稳定性的方法。 运用线性近似稳定性方法在第三章中分析如下这样一类非线性微分方程： d3xd2xdx?a(x)?b(x)?x?0 32dtdtdt其中x?0是上式微分方程的解。

然而，线性系统与非线性系统具有根本的区别，因此一般说来，关于线性化系统的解及有关结论是不能随意推广到原来的非线性系统，是有条件的。所以有了更加直接有效的方法，这就是本文中所介绍的Lyapunov第二方法。Lyapunov第二法是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。

虽然通过构造V函数，我们可以利用Lyapunov第二方法判断微分方程的解的稳定性，但如何构造特定性质的V函数则是一个有趣而复杂的问题。且在具体确定许多非线性系统的稳定性时,技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。本文所介绍的微分矩法也是比较有效的可以解决此类函数的稳定性问题，并且运用它处理如下一类微分方程

d3xd2xdx?f(t,x)?g(t,x)??(t,x)?0 dtdtdt的零解的稳定性。

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第二章 相关引理

为了分析微分方程组零解的稳定性,引入如下定义。

定义1 如果对任何给定的??0，存在??0（?一般与?和t0有关），使当任一x0满足x0??时，方程组

dx?f(t,x) (2.1) dt由初始条件x(t0)?x0确定的解x(t)均有

x(t)?? , 对一切t?t0,

则称方程组(2.1)的零解x?0为稳定的;

如果

dx?f(t,x)的零解稳定，且存在这样的?0?0，使当x0??0时,满足初dt始条件x(t0)?x0的解x(t)均有

t???limx(t)?0，

则称零解x?0为渐近稳定的。

?dx?dt?X(x,y)定义2设有驻定方程组? ，称同时满足X(x,y)?0,Y(x,y)?0的点

dy??Y(x,y)?dt(x*,y*)为方程组的奇点。

对于n阶非线性微分方程组

dx?Ax?R(x) , (2.2) dt其中R(0)?0。显然x?0是方程组（2.2）的解。

若方程组(2.2)满足条件

R(x)x，则称线性方程 ?0（当x?0时）

dx?Ax (2.3) dt为方程组(2.2)的线性近似方程组。

线性近似方程组(2.3)的系数矩阵A的特征方程为

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