2010-2018十年抛物线高考题

抛物线

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y?4x的焦点为F，过点(?2,0)且斜率为交于M，N两点，则FM?FN= A．5

B．6

C．7 D．8

222的直线与C32．（2017新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y?4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，

l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|?|DE|的最

小值为

A．16 B．14 C．12 D．10

3．(2016年四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y?2px(p?0)上任意一点，

2M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为

A．

322 B． C． D．1 3234．(2016年全国I)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8

5．（2015浙江）如图，设抛物线y?4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则?BCF与?ACF的面积之比是

2

A．

BF?1AF?1 B．

BF?1AF?1222 C．

BF?1AF?1 D．

BF?1AF?1222

226．（2015四川）设直线l与抛物线y?4x相交于A,B两点，与圆?x?5??y?r?r?0?相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是

A．?1，3? B．?1，4? C．?2，3? D．?2，4?

7．（2014新课标1）已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP?4FQ，则|QF|= A．

275 B． C．3 D．2 228．（2014新课标2）设F为抛物线C：y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于

A,B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A．3393 C．63 D．9

B．4328429．（2014辽宁）已知点A(?2,3)在抛物线C：y?2px的准线上，过点A的直线与C在第

一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ） A．

1234 B． C． D． 2343210．（2013新课标1）O为坐标原点，F为抛物线C:y?42x的焦点，P为C上一点，

若|PF|?42，则?POF的面积为（ ） A．2

B．22

C．23 2

D．4

11．（2013江西）已知点A?2,0?，抛物线C:x?4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相

交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|= A．2:5 B．1:2 C．1:

5 D．1:3

212．（2012新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A、B两点，|AB|?43，则C的实轴长为 A、2

B、22

C、4

D、8

x2y213．（2012山东）已知双曲线C1：2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2．若抛物线

abC2:x2?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 A．x2?83163y B．x2?y C．x2?8y D．x2?16y 3314．（2011新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，

B两点，|AB|?12，P为C的准线上一点，则?ABP的面积为

A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题

15．(2018全国卷Ⅲ)已知点M(?1,1)和抛物线C：y?4x，过C的焦点且斜率为k的直

线与C交于A，B两点．若?AMB?90，则k?______．

16．（2017新课标Ⅱ）已知错误！未找到引用源。F是抛物线C：y?8x错误！未找到引

用源。的焦点，M是错误！未找到引用源。上一点，FM的延长线交错误！未找到引用源。y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|?错误！未找到引用源。 ．

2217．（2015陕西）若抛物线y?2px(p?0)的准线经过双曲线x?y?1的一个焦点，则

222p= 18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a?b)，原点

bO为AD的中点，抛物线y2?2px(p?0)经过C,F两点，则? ．

a

19．（2013北京）若抛物线y?2px的焦点坐标为(1,0)，则p? ，准线方程为 ． 20．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水

位下降1米后，水面宽 米．

2

21．（2010浙江）设抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_____________．

2三、解答题

22．（2018北京）已知抛物线C：y?2px经过点P(1,2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线

2C 有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：

1??1?为定值．

23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线C：y?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． (1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

24．（2018浙江）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y?4x上存在

不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

yA22POMxB

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

y2?1(x?0)上的动点，求?PAB面积的取值范围． (2)若P是半椭圆x?4225．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C：y?2x，过点(2,0)的直线l交C与A，B两点，

圆M是以线段AB为直径的圆． (1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4,?2)，求直线l与圆M的方程．

26．（2017浙江）如图，已知抛物线x?y．点A(?,)，B(,)，抛物线上的点

221124392413P(x,y)(??x?)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

22yBQx

AO（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．

P27．（2017北京）已知抛物线C：y?2px过点P(1,1)．过点(0,)作直线l与抛物线C 交

于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．

28．(2016年全国III)已知抛物线C：y2?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分

别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

212x229．（2015新课标1）在直角坐标系xoy中，曲线C：y?与直线y?kx?a(a?0)交

4与M，N两点，

（Ⅰ）当k?0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有?OPM??OPN？说明理由． 30．（2014山东）已知抛物线C:y?2px(p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意

一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FA?FD，当点A的横坐标为3时，?ADF为正三角形。

2

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