高一数学知识点汇总讲解大全 (5)

（2）函数y?Asin(?x??)?h与函数y?sinx的图像的关系如下： ①相位变换：

?y?sin(x??)； 当??0时，y?sinx???????y?sin(x??)； 当??0时，y?sinx??????向右平移?个单位向左平移?个单位 ②周期变换：

??y?sin(?x??)； 当??1时，y?sin(x??)????????????????y?sin(?x??)； 当0???1时，y?sin(x??)??????????????1所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）1所有各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ③振幅变换：

所有各点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）?y?Asin(?x??)； 当A?1时，y?sin(?x??)??????????????所有各点的纵坐标缩短到原来的A倍（横坐标不变）?y?Asin(?x??)； 当0?A?1时，y?sin(?x??)?????????????? ④最值变换：

所有各点向上平行移动h个单位?y?Asin(?x??)?h； 当h?0时，y?Asin(?x??)?????????所有各点向下平行移动h个单位?y?Asin(?x??)?h； 当h?0时，y?Asin(?x??)????????? 注意：函数y?Acos(?x??)?h和函数y?Atan(?x??)?h的变换情况同上．

3、三角函数的值域： （1）y?asinx?b型：

设t?sinx，化为一次函数y?at?b在闭区间[?1,1]上求最值． （2）y?asinx?bcosx?c，a,b?0型： 引入辅助角?,tan??b，化为y?a2?b2sin(x??)?c． a （3）y?asin2x?bsinx?c型：

设t?sinx?[?1,1]，化为二次函数y?at2?bt?c求解． （4）y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c型：

a(t2?1)?bt?c在闭 设t?sinx?cosx?[?2,2]，则t?1?2sinxcosx，化为二次函数y??22 区间t?[?2,2]上求最值．

（5）y?atanx?bcotx型：

b 设t?tanx，化为y?at?，用“Nike函数”或“差函数”求解．

tasinx?b （6）y?型：

csinx?d 方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为?1?sinx?1求解．

asinx?b （7）y?型：

ccosx?d 化为asinx?yccosx?b?dy，合并a2?y2c2sin(x??)?b?dy，利用有界性， sinx(???)b?dya?yc222求解．??[1,1]

不全为0）型：

（8）asinxcosx?bsin2x?ccos2x，（a?,0b,cac?bb?c 利用降次公式，可得asinxcosx?bsin2x?ccos2x?sin2x?，然后利用辅 cos2x?222 助角公式即可．

4、三角函数的对称性： 对称中心 对称轴方程 y?sinx (k?,0)，k?Z x?k???2，k?Z y?cosx y?tanx y?cotx (k??(?2,0)，k?Z x?k?，k?Z / / k?,0)k?Z 2k?(,0)k?Z 2 备注：①y?sinx和y?cosx的对称中心在其函数图像上；

②y?tanx和y?cotx的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上） 例3：求函数y?5sin(2x?)?7的对称轴方程和对称中心．

3 解析：由函数y?sinx的对称轴方程x?k?? 解得x???2，k?Z，可得2x??3?k???2，k?Z

?12?k?，k?Z． 2??k? 所以，函数y?5sin(2x?)?7的对称轴方程为x??，k?Z．

3122 由函数y?sinx的中心对称点(k?,0)，k?Z，可得2x? 解得x???3?k?，k?Z

?6?k?，k?Z． 2??k?,7)，k?Z． 所以，函数y?5sin(2x?)?7的对称中心为(??362

5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像： 定义域 值域 奇偶性 单调性 对称中心 y?arcsinx y?arccosx [?1,1] [0,?] y?arctanx (??,??) [?1,1] [?,] 22奇函数 ??(?非奇非偶函数 在[?1,1]上是减函数 点(0,) 2,) 22奇函数 ??在[?1,1]上是增函数 点(0,0) 在(??,??)上是增函数 点(0,0) ?图像 重要结论： （1）先反三角函数后三角函数： ①a?[?1,1]?sin(arcsina)?cos(arccosa)?a； ②a?R?tan(arctana)?a． （2）先三角函数后反三角函数： ①??[? ??,]?arcsin(sin?)??； 22 ②??[0,?]?arccos(cos?)??；

,)?arctan(tan?)??． 22 （3）反三角函数对称中心特征方程式：

③??(??? ①a?[?1,1]?arcsin(?a)??arcsina； ②a?[?1,1]?arccos(?a)???arccosa； ③a?(??,??)?arctan(?a)??arctana． 6、解三角方程公式：

k?sinx?a,a?1x??k?(?1)arcasikn?,Z?x?a,a?1x??2k?arccaosk?,Z?cos． ?tan??k?arctaan?k,Z?x?a,a?Rx

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