高一数学知识点汇总讲解大全 (3)

四、分式函数： 定义 分类 a形如y?x?(a?0)的函数，称作分式函数． xaay?x?,a?0（耐克函数） y?x?,a?0 xx图像 定义域 值域 渐近线 (??,?2a][2a,??) (??,0)(0,??) R x?0，y?x 在(??,?a]，[a,??)上单调递增； 单调性 在[?a,0)，(0,a]上单调递减． 五、曼哈顿距离： 在平面上，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则称d?x1?x2?y1?y2为MN的曼哈顿距离． 六、某类带有绝对值的函数：

1、对于函数y?x?m，在x?m时取最小值；

2、对于函数y?x?m?x?n，m?n，在x?[m,n]时取最小值； 3、对于函数y?x?m?x?n?x?p，m?n?p，在x?n时取最小值；

4、对于函数y?x?m?x?n?x?p?x?q，m?n?p?q，在x?[n,p]时取最小值； 5、推广到y?x?x1?x?x2? y?x?1x?x?2x?在(??,0)，(0,??)上单调递增； ?x?x2n，x1?x2?x1?x2??x?n2?x，1?x2n，在x?[xn,xn?1]时取最小值； ?x2n?1，在x?xn时取最小值．

思考：对于函数y?x?1?2x?3x?2，在x_________时取最小值．

四、幂函数、指数函数和对数函数

（一）幂函数

（1）幂函数的定义：

形如y?xa(a?R)的函数称作幂函数，定义域因a而异．

（2）当a?0,1时，幂函数y?xa(a?R)在区间[0,??)上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数y?xa(a?0,1)的草图，可分两步：

①根据a的大小，作出该函数在区间[0,??)上的图像；

②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在(??,0]上的图像． （4）判断幂函数y?xa(a?R)的a的大小比较：

方法一：y?xa(a?R)与直线x?m(m?1)的交点越靠上，a越大； 方法二：y?xa(a?R)与直线x?m(0?m?1)的交点越靠下，a越大

ax?b(c?0)的变形幂函数的作图： cx?dda

①作渐近线（用虚线）：x??、y?；

cc

（5）关于形如y?b

②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)；

d

③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

（二）指数&指数函数

1、指数运算法则： ①a?a?axyx?yaxax；②(a)?a；③(a?b)?a?b；④()?x，其中(a,b?0,x、y?R)．

bbxyxyxxx2、指数函数图像及其性质： / y?ax(a?1) y?ax(0?a?1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(??,??)上单调递增； R (0,??) 非奇非偶函数 x轴 在(??,??)上单调递减； ①指数函数y?ax的函数值恒大于零； ②指数函数y?ax的图像经过点(0,1)； 性质 ③当x?0时，y?1； 当x?0时，0?y?1． 3、判断指数函数y?ax中参数a的大小：

方法一：y?ax与直线x?m(m?0)的交点越靠上，a越大； 方法二：y?ax与直线x?m(m?0)的交点越靠下，a越大．

③当x?0时，0?y?1； 当x?0时，y?1．

（三）反函数的概念及其性质

1、反函数的概念：

对于函数y?f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y?f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y?f(x)的反函数，记作

x?f?1(y)．在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y?f?1(x)(x?A)．

2、求反函数的步骤：（“解”?“换”?“求”） ①将y?f(x)看作方程，解出x?f(y)； ②将x、y互换，得到y?f?1(x)； ③标出反函数的定义域（原函数的值域）． 3、反函数的条件：

定义域与值域中的元素一一对应． 4、反函数的性质：

①原函数y?f(x)过点(m,n)，则反函数y?f ②原函数y?f(x)与反函数y?f ③奇函数的反函数必为奇函数． 5、原函数与反函数的关系： / 定义域 值域

?1?1(x)过点(n,m)；

(x)关于y?x对称，且单调性相同；

函数y?f(x) y?f?1(x) D A A D

（四）对数&对数函数

1、指数与对数的关系： ab?N a b 指数 N 幂 真数 底数 logaN?b 对数 2、对数的运算法则： ①loga1?0，logaa?1，alogaN?N；②常用对数lgN?log10N，自然对数lnN?logeN； ③loga(MN)?logaM?logaN，loga ④logbN?M?logaM?logaN，logaMn?nlogaM； NlogaN1m，logab?，loganbm?logab，logacbc?logab，alogNb?blogNa．

logbanlogab3、对数函数图像及其性质： / y?logax(a?1) y?logax(0?a?1) 图像 定义域 值域 奇偶性 渐近线 单调性 在(0,??)上单调递增； (0,??) R 非奇非偶函数 y轴 在(0,??)上单调递减； ①对数函数y?logax的图像在y轴的右方； ②对数函数y?logax的图像经过点(1,0)； 性质 ③当x?1时，y?0； 当0?x?1时，y?0．

③当x?1时，y?0； 当0?x?1时，y?0．

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