课时跟踪检测(一) 平面直角坐标系
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆 C．比原来小的圆
B．比原来大的圆 D．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( ) A．直线 C．椭圆
B．圆 D．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
―→―→―→―→
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP |＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x C．y2＝4x
B．y2＝－8x D．y2＝－4x
―→―→―→―→―→解析：选B 由题意，得MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，由|MN|·|MP―→―→|＋MN·NP＝0，
得4?x＋2?2＋y2＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( ) x＝2x′??
A.?1
y＝y′??3
??x＝2x′C.? ?y＝3y′?
x′＝2x??
B.? 1y′＝y?3?
??x′＝2xD.? ?y′＝3y?
?x′＝λx，λ>0，?
解析：选B 设?则μy＝sin λx，
?y′＝μy，μ>0，?
1
即y＝μsin λx.
11
比较y＝3sin 2x与y＝μsin λx，则有μ＝3，λ＝2. x′＝2x，??1
∴μ＝，λ＝2.∴? 13y′＝y.?3?二、填空题
1
??x′＝2x，
5．y＝cos x经过伸缩变换?后，曲线方程变为________．
?y′＝3y?
??x′＝2x，
解析：由?
?y′＝3y，?
?x＝2x′，
得?1
y＝?3y′，
1
代入y＝cos x，
111
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′. 322x′答案：y＝3cos 2
y2
6．把圆X＋Y＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x＋＝1，则坐标变换公式是________．
16
2
2
2
??x＝λX ?λ>0?，
解析：设?
?y＝μY ?μ>0?，?
?X＝λ，
则?y
Y＝?μ.
x
x2y2
代入X＋Y＝16得 ＋＝1.
16λ216μ22
2
∴16λ2＝1,16μ2＝16. X1???λ＝4，?x＝4，∴?故? ???μ＝1.?y＝Y.X??x＝4，答案：?
??y＝Y
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________． 解析：∵△ABC的周长为10， ∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4， 即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4. ∴a＝3，c＝2，b2＝5.
x2y2
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
95x2y2
答案：＋＝1(y≠0)
95三、解答题
8. 在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
2
x－4?2
解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为?－9y2＝1.①
?2?x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.② x－4x???x′－2＝?x′＝2，，2比较①②，可得?即?
???y′＝3y.?y′＝3y，
1
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3
2倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证1明：|AM|＝|BC|.
2
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)． bc?则M点的坐标为??2，2?. 由于|BC|＝b2＋c2， |AM|＝
b2c2122＋＝b＋c， 442
1
故|AM|＝|BC|.
2
x2y2
10．如图，椭圆C0：2＋2＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆
abC1：x2＋y2＝t21，b
解：设 A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)， y1则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
x1＋a直线A2B的方程为y＝
2
－y1
(x－a)．② x1－a
－y2122
由①②，得y＝22(x－a)．③ x1－ax2y211由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故2＋2＝1.
ab
3
从而
2
y21＝b
?1－x1?2，代入③，得 ?a?
2
x2y2
－＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程． a2b2
课时跟踪检测(二) 极 坐 标 系
一、选择题
π?－π??－π，－200π?，，200π?，N?1．在极坐标平面内，点M?，201π)，G??3??3??3?π
2π＋，200π?中互相重合的两个点是( ) H?3??
A．M和N C．M和H
B．M和G D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点． π
10，?化成直角坐标是( ) 2．将点M的极坐标?3??A．(5,53) C．(5,5)
B．(53，5) D．(－5，－5)
ππ
解析：选A x＝ρcos θ＝10cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝53.
33
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( ) A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称 D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
π
2，?关于极点的对称点为________． 5．点??6?7
2，π?. 解析：如图，易知对称点为??6?
4
72，π? 答案：??6?
3ππ
1，?，B?2，?两点，则|AB|＝________. 6．在极坐标系中，已知A?4???4?解析：|AB|＝答案：5
ππ
3，?，B?3，?，则直线l与极轴的夹角等于________． 7．直线l过点A??3??6?3ππ?12＋22－2×1×2cos??4－4?＝5.
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3， πππ
∠AOB＝－＝，
366π
65π
所以∠OAB＝＝，
212
π－
π5ππ
所以∠ACO＝π－－＝.
3124π
答案： 4三、解答题
π
42，?的距离为5的点M的坐标． 8．在极轴上求与点A?4??π42，?， 解：设M(r,0)，因为A?4??所以
π
?42?2＋r2－82rcos＝5，
4
即r2－8r＋7＝0. 解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
5
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