高中数学选修4-4习题、期末测试题等复习资料（内含多套整理试题资料） (5)

∴|PQ|max＝6＋6＋?33?2＋32＝18.

19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．

解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，xy9－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(，0)，直线BP的方程为＋＝1，直线

aa2xy

B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.

9－2a

??2x＋ay－2a＝0，

设M(x，y)，则由?解得

?2ax－9y－18＝0，?

??

?2a－18??y＝a＋9

2218ax＝2，a＋9

(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)． 20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

??x＝ρcos θ，

解：(1)将?

?y＝ρsin θ?

代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

22

??x＋y－8x－10y＋16＝0，由?22 ?x＋y－2y＝0，?

???x＝1，?x＝0，解得?或?

?y＝1???y＝2.

46

ππ2，?，?2，?. 所以C1与C2交点的极坐标分别为?4??2??

阶段质量检测（一） B卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0)

D．(－2π，0)

解析：选A x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．2．在极坐标系中，已知A??2，π6??、B??6，－π

6??，则OA、OB的夹角为( ) A.π

6 B．0 C.π3

D.5π6

解析：选C

如图所示，夹角为π

3

. 3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝1

??x′＝2x，3cos 2x按伸缩变换??后为( ?y′＝3y

A．y＝cos x B．y＝3cosx

2 C．y＝2cosx

3

D．y＝1

2

cos 3x

解析：选A 由??

?

x′＝2x，??y′＝3y，

?x＝x′，得?2

?y＝y′

3.

代入y＝1

y′13cos 2x，得3＝3cos x′.

∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.

4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.??1，π2??

B.??

1，－π

2?? C．(1,0) D．(1，π) 47

)

解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化π1，－?. 成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为?2??

5．曲线θ＝A．1

2π

与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) 3

B.3 C．33 D．6

解析：选C 极坐标方程θ＝

π2π

3，?，，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C??2?3

ππ3

∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos ＝6×＝33.

662

7ππ

1，?关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( ) 6．点M?6??44π1，? A.?3??

2ππ

1，? C.?1，? B.?3???3?7π

1，－? D.?6??

7π7πππ

1，?关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为?1，＋?，即解析：选A 法一：点M?6?66???4

?1，4π?.

3??

7π7π7π31

1，?的直角坐标为?cos ，sin ?＝－，－， 法二：点M?6?66???22π

直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，

4点－

??1331?，－关于直线y＝x的对称点为－2，－2， 22?4π

1，?. 再化为极坐标即?3??

7．极坐标方程ρsin2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( ) A．椭圆

B．双曲线 C．抛物线 D．圆

解析：选C 由ρsin2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0， 1

∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝y2，表示抛物线．

28．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) 1

A．ρcos θ＝

2πθ＋? C．ρ＝4sin??3?

B．ρcos θ＝2 π

θ－? D．ρ＝4sin??3?48

解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ， 即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.

由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切． 9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.2 2

B.2 C．2

D．22

解析：选B 圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2， ππ

在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，

24∴|CD|＝2.

π

θ＋?(r>0)的公共弦所在直线的方程为( ) 10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin??4?A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r

解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①

πππ

θ＋?＝－2rsin θcos ＋cos θsin ＝－2r(sin θ＋cos θ)． 圆ρ＝－2rsin??4?44两边同乘以ρ得ρ2＝－2r(ρsin θ＋ρcos θ) ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2， ∴x2＋y2＋2rx＋2ry＝0.②

①－②整理得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0， π

取θ－α＝. 2π

答案：θ＝＋α

213换题内容

13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________． 12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．

解析：

49

将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－答案：－

33≤k≤. 33

?

?33?

，33?

2π2π2π?13．已知点M的柱坐标为??3，3，3?，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．

解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)， 柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，

x＝ρcos θ，??

由?y＝ρsin θ，??z＝z

??2π2π3π

得?y＝sin ＝，3332π?z＝?3，x＝2π2ππcos ＝－，333

222r＝x＋y＋z，?r＝3，??由?得?z

2cos φ＝，?r?cos φ＝.?2

22π

?r＝232π，

即?π

φ＝?4.

?π3π，2π?，球坐标为?22π，π，2π?.

∴点M的直角坐标为－，

3?43??33?3?π3π，2π? ?22π，π，2π?

答案：－，

3??343??33

π

14．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段

2AB最短时，点B的极坐标是________．

π1，?解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A??2?化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，

则|OB|＝答案：

23π?2，3π?.

，θ＝，故B点的极坐标是B24?24??2，3π? ?24?

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或

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