球与各种几何体切、接问题专题（一）

球与各种几何体切、接问题

近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

一、球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1、 球与正方体

（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?a.

（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?2a.

2

（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2r?3a.

图3

例 1 棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱

AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A．2 2 B．1 C．1?2 2D．2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面AA1DD1截面所得圆面的半径

AD12R??,得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径.

22

2、 球与长方体

例2 自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC，求

MA2?MB2?MC2的值．

结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．

例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.

3、 球与正棱柱

（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． （2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

二、 球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1、正四面体与球的切接问题

（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R?h?6a； 3

例4 正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．

【解析】 如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离．∵AB＝a, ∴正四面体的高h＝＝6a. 12

61a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝h34

（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R?3h?6a；（可用

正四面体高h减去内切球的半径得到） 例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。

设SO1是正四面体S－ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1＝r，

则在△ABC中，用解直角三角形知识得r＝从而SO1＝SA2－AO21＝11－＝3

2， 3

236－R)2＋()2，解得R＝. 3343

， 3

在Rt△AOO1中，由勾股定理得R2＝(

结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点3

此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正41

四面体高的.

4

（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有

4R?3h?2a,h?例6

6a. 3

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